【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第2节平面的基本性质与空间两直线的位置关系课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)．[解析] 由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．[答案] ①2．空间四点中，三点共线是这四点共面的________条件．(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)[解析] 三点共线和第四点一定共面，反之不成立．[答案] 充分不必要3．(2015·泰州模拟)下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是________(只填序号)[解析] 由平面的基本性质知①错，②对，④错；两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故③对．[答案] ②③4．若异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝l，则直线l与直线a，b的位置关系是________．[解析] 假设l与a，b都不相交，因为l与a都在α内，所以l∥a，l与b都在β7\n内，所以b∥l，所以a∥b，与假设矛盾．[答案] 至少与a，b中的一条直线相交5．如图，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是________．(填上所有正确答案的序号)[解析] 本题考查了异面直线的判定，图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．[答案] ②④6．在下列命题中，不是公理的命题是________．(只填序号)①平行于同一个平面的两个平面相互平行；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．[解析] 命题①是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．[答案] ①7.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．图728[解析] 连结DF，易知AE∥DF，∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成的角，在△DFD1中，由余弦定理求得cos∠DFD1＝.[答案] 8．(2015·济南检测)如图729所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．7\n图729[解析] 取A1C1的中点D1，连结B1D1，∵D是AC的中点，∴B1D1∥BD，∴∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连结AD1，设AB＝a，则AA1＝a，∴AB1＝a，B1D1＝a，AD1＝＝a.∴cos∠AB1D1＝＝.∴AB1与BD所成角为60°.[答案] 60°三、解答题9．如图7210，在△ABC中，∠DAC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，AB＝2，图7210(1)求三棱锥ABCD的体积；(2)设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所成角的余弦值．[解] (1)因为折起前AD是BC边上的高，所以当△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，又DB∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC，由AB＝2，∠DAC＝60°，∠BAC＝90°，求得DC＝3，AD＝，BD＝1，V三棱锥ABCD＝××1×3×＝.(2)取CD的中点F，连结EF，AF，则EF∥BD，EF＝BD＝，在Rt△ADF7\n中，DF＝CD＝，AD＝，AF＝＝，由(1)知BD⊥AD，又BD⊥CD，AD∩CD＝D，所以BD⊥平面ACD，所以EF⊥平面ACD，则EF⊥AF，AE＝＝，所以cos∠AEF＝＝，即异面直线AE与DB所成角的余弦值为.10．如图7211，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC，E是A1B1的中点，F是B1C1上的动点．图7211(1)求证：A1D1与B1B是异面直线；(2)试问F在B1C1何处时，直线CF与直线AE相交？[证明] (1)假设A1D1与B1B不是异面直线，则A1D1与B1B共面，设其确定的平面为α，则α与平面A1B1D1重合，连结BD1，则直线BD1在平面A1B1D1内，这与BD1是长方体ABCDA1B1C1D1的体对角线矛盾，从而A1D1与B1B是异面直线．(2)F为B1C1的中点时，直线AE与CF相交．连结EF，A1C1，AC.∵E，F为A1B1，B1C1的中点，∴EF∥A1C1，且EF＝A1C1.∵在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1綊AC，∴EF∥AC，∴A，E，F，C四点共面．又EF＝AC，∴四边形AEFC为梯形，∴直线AE与CF相交．[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·江苏盐城模拟)如图7212，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，给出下列四个命题：7\n图7212①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥DABC的体积是；④AB与CD所成的角是60°.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[解析] 设正方形ABCD对角线的交点为O，①根据平面几何知识可知BD＝DO＝×＝1，再由BC＝DC＝1，可知△DBC是等边三角形；②由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，从而有AC⊥BD；③三棱锥DABC的体积＝S△ABC×OD＝××1×1×＝；④过O作OE∥AB，OF∥CD，则∠EOF(或其补角)为所求角，在△OEF中，可解得∠EOF＝120°，故AB与CD所成的角为60°.[答案] ①②④2．(2014·南京模拟)已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，AC1与平面A1BD和平面CB1D1分别交于E，F两点．给出以下命题，其中真命题有________(写出所有真命题的序号)．图7213①点E，F为线段AC1的两个三等分点；②＝－＋＋；③设A1D1的中点为M，CD的中点为N，则直线MN与面A1DB有一个交点；④E为△A1BD的内心；⑤设K为△B1CD1的外心，则为定值．[解析] 对①，在对角面ACC1A1中可看出点E，F为线段AC1的两个三等分点，正确；7\n对②，＝＋＝(＋＋)－＝－＋＋，故错；对③，设DD1的中点为R，则易证面MNR∥面A1BD，故错；对④，A1E在△A1BD的边BD的中线上，故E不一定为△A1BD的内心(实际上是重心)，故错；对⑤，设K为△B1CD1的外心，则＝＝，为定值，正确．[答案] ①⑤二、解答题3．(2012·上海高考)如图7214，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，AD＝2，PA＝2.求：图7214(1)三角形PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．[解] (1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD.因为PD＝＝2，CD＝2，所以三角形PCD的面积为×2×2＝2.(2)法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2，0)，E(1，，1)，＝(1，，1)，＝(0,2，0)．设与的夹角为θ，则7\ncosθ＝＝＝，所以θ＝.由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二：取PB的中点F，连结EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．在△AEF中，由EF＝、AF＝、AE＝2知△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF＝.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.7
