【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第7章第4节直线、平面垂直的判定及其性质课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．给出下列四个命题：(1)若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；(2)若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；(3)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在直线；(4)若直线垂直于梯形两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在直线．其中正确的命题共有________个．[解析] (1)中没有指明是两条相交直线，故错；(2)能根据平面的垂线定义知正确；(3)中梯形的两腰所在直线必相交，故正确；(4)中梯形两底边所在的直线为平行直线，故错．[答案] 22．(2013·广东高考改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是______(填序号)．①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β.[解析] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故①错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故②错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故③错误．由线面垂直性质及面面垂直的判定，④正确．[答案] ④3．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连结PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是________．(填写正确命题的序号)①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.6\n[解析] ∵BC⊥平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB，∴①正确，同理AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB，∴②正确．[答案] ①②4．(2014·辽宁高考)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是________(填序号)①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.[解析] ①中m和n可以平行，相交异面，故错；②中由线面垂直的性质知正确；③中，n可以在平面内，故错；④中，n可以和这个平面平行，相交，也可以在平面内，故错．[答案] ②5．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是________(填序号)①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥α，则n⊥α；④若m∥α，α⊥β，则m⊥β.[解析] ①中的m，n可以相交也可异面故错；②中α和β可以相交故错；④中的m与β可以平行，相交，也可在β内，故错．[答案] ③6．P为△ABC所在平面外一点，AC＝a，△PAB，△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．[解析] 如图所示，∵PA＝PB＝PC＝AB＝BC＝a，取AC中点D，连结PD、BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC＝a，∴PD＝BD＝a，在△PBD中，PB2＝BD2＋PD2，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BD，∴PD⊥平面ABC.又PD⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.6\n[答案] 垂直7．如图7410所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)．图7410[解析] 由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD.∴平面MBD⊥平面PCD.[答案] DM⊥PC(答案不唯一)8．如图7411，已知正四面体ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连结CE，则CE与底面BCD所成角的正弦值为________．图7411[解析] 分别过点A，E作AO⊥平面BCD，EH⊥平面BCD，由题意知，O、H、D共线，连结CH，则∠ECH即为CE与底面BCD所成的角，OD＝a×＝a，AO＝＝a，EH＝AO＝a，CE＝a，所以sin∠ECH＝＝.[答案] 二、解答题9．如图7412，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC1＝4AF.6\n图7412(1)求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；(2)求证：EF∥平面ABB1A1.[解] (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，CC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADF，所以平面ADF⊥平面BCC1B1.(2)连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.因为AC1＝4AF，AA1∥CC1，所以CF＝3FG.因为D为BC的中点，E为BD的中点，所以CE＝3EB，所以EF∥GB.又EF⊄平面ABB1A1，GB⊂平面ABB1A1，所以EF∥平面ABB1A1.10．(2014·江苏高考)如图7413，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.图7413求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[证明] (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝所以DE∥PA，DE＝PA6\n＝3，EF＝BC＝4.又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.[B级 能力提升练]一、填空题1．在正面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.[解析] 由BC∥DF知①正确；由DF∥BC且BC⊥AE，BC⊥PE知②正确；由BC⊥面PAE知④正确．[答案] ①②④2．如图7414所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是________(填序号)．图7414①AD⊥平面BCD；②AB⊥平面BCD；③平面BCD⊥平面ABC；④平面ADC⊥平面ABC.[解析] 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.[答案] ④6\n二、解答题3．(2014·徐州高考信息卷)如图7415，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°.平面ACEF⊥平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．图7415(1)求证：BC⊥平面ACEF；(2)当FM为何值时，AM∥平面BDE？证明你的结论．[解] (1)由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB＝2a，AC＝a，所以AC⊥BC，又平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BC⊥平面ACEF.(2)当FM＝a，AM∥平面BDE.在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连结EN，则CN∶NA＝1∶2，因为FM＝a，EF＝AC＝a，所以EM＝AN，又EM∥AN，所以四边形EMAN为平行四边形，所以AM∥NE，又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，所以AM∥平面BDE.6
