【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第3章第3节两角和与差、二倍角的三角函数课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．已知α∈，cosα＝，则sin＝_______.[解析] ∵α∈，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.[答案] 2．cos20°sin40°＋sin20°sin50°＝________.[解析] 原式＝cos20°cos50°＋sin20°sin50°＝cos(50°－20°)＝cos30°＝.[答案] 3．(2013·江西高考改编)若sin＝，则cosα＝________.[解析] cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.[答案] 4．已知sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，α－β∈，α＋β∈，则cos2β＝________.[解析] 由sin(α－β)＝，α－β∈，得cos(α－β)＝－＝－，6\n由sin(α＋β)＝－，α＋β∈，得cos(α＋β)＝＝＝.所以cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.[答案] －15．(2014·江苏泰州模拟)求值：＝________.[解析] 原式＝＝＝＝＝.[答案] 6．在△ABC中，若sinA＝，cosB＝，则cosC的值为________．[解析] 由cosB＝，得sinB＝，而sinA＝，∴sinA<sinB，∴A<B，∴A为锐角，∴cosA＝＝＝，∴cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝－.[答案] －7．(2013·浙江高考改编)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝________.[解析] 把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sinαcosα＝，所以＝，所以＝，即3tan2α6\n－8tanα－3＝0，解得tanα＝3或tanα＝－，所以tan2α＝＝－.[答案] －8．(2014·徐州质检)在△ABC中，已知C＝，向量m＝(sinA,1)，n＝(1，cosB)且m⊥n，则A＝________.[解析] 由m⊥n，得m·n＝0，即sinA＋cosB＝0，又C＝，A＋B＋C＝π，∴B＝－A，∴sinA＋cos＝0，∴sinA－cosA＋sinA＝0，即tanA＝，∴A＝.[答案] 二、解答题9．(2014·江苏调研)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．(1)若α－β＝，求a·b的值；(2)若a·b＝，α＝，求tan(α＋β)的值．[解] (1)由a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α－β＝，得a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos＝.(2)由(1)知a·b＝cos(α－β)，若a·b＝，则cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝±，∴tan(α－β)＝±，∵α＝，∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan＝＝，6\n当tan(α－β)＝时，tan(α＋β)＝＝；当tan(α－β)＝－时，tan(α＋β)＝＝7.综上，tan(α＋β)＝或7.10．已知f(x)＝－sin2x＋sinxcosx，(1)求f的值；(2)设α∈(0，π)，f＝－，求sinα的值．[解] f(x)＝－sin2x＋sinxcosx＝－×＋sin2x＝－＋sin2x＋cos2x＝－＋sin，(1)f＝－＋sin＝－＋sin＝－＋sin＝－＋＝0.(2)f＝－＋sin＝－，∴sin＝.∵α∈(0，π)，∴α＋∈，又0<sin＝<，∴α＋∈.∴cos＝－＝－＝－，∴sinα＝sin＝sincos－cossin＝×＋×＝.6\n[B级 能力提升练]一、填空题1．(2014·课标全国卷Ⅰ改编)设α∈，β∈，且tanα＝，则2α－β＝________.[解析] 由tanα＝，得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.[答案] 2．(2013·课标全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.[解析] y＝sinx－2cosx＝，设＝cosα，＝sinα，则y＝(sinxcosα－cosxsinα)＝sin(x－α)．∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝.又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，∴f(θ)＝sinθ－2cosθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，∴即cosθ＝－.[答案] －6\n二、解答题3．已知函数f(x)＝sin2x＋msinsin，(1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝，求m的值．[解] (1)当m＝0时，f(x)＝sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝＋＝＋＝sin＋，∵x∈，∴2x－∈，∴sin∈，从而f(x)＝sin＋∈.(2)f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋＝＋－cos2x＝[sin2x－(1＋m)cos2x]＋，由tanα＝2，得sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝＝－，∴f(α)＝[sin2α－(1＋m)cos2α]＋＝＋＝.解得m＝－2.6
