【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第2节逆矩阵、特征值与特征向量课后限时自测理苏教版选修4-2[A级 基础达标练]1．用几何变换的方法求A＝＝的逆矩阵．[解] A表示绕原点逆时针旋转60°变换矩阵，故A存在逆矩阵，A的逆矩阵应表示绕原点顺时针旋转60°变换矩阵．所以A－1＝＝.2．已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使MX＝N.[解] 因为MX＝N，所以X＝M－1N，M－1＝.∴X＝M－1N＝＝.3．(2014·苏州四市模拟)求矩阵的特征值及对应的特征向量．[解] 特征多项式f(λ)＝＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入得x＋y＝0，令x＝1，y＝－1，则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为.当λ2＝3时，得x－y＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为.4．(2014·南京质检)已知矩阵M＝不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M5\n的特征值．[解] 由题意，矩阵M的行列式＝0，解得x＝5，所以矩阵M＝的特征多项式为：f(λ)＝＝(λ－5)(λ－6)－(－5)×(－6)，令f(λ)＝0，解得λ＝0或λ＝11，所以矩阵M的特征值为0和11.5．(2014·盐城模拟)已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值及其对应的一个特征向量．[解] 矩阵M的特征多项式为f(λ)＝(λ－1)(λ－x)－4.因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1.由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝，则从而y＝－x.取x＝1得y＝－1，所以矩阵M的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝.6．(2014·江苏联考)设二阶矩阵A，B满足A－1＝，BA＝，求B－1.[解] ∵B＝BAA－1＝＝，∴B－1＝.7．(2014·南通市调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e1＝，且M＝.求矩阵M.[解] 设M＝，则由＝，得再由＝，得联立以上方程组解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M＝.8．(2014·南京盐城高三数学二模数学试卷)已知矩阵A＝5\n的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝.(1)求矩阵A；(2)若A＝，求x，y的值．[解] (1)由题意，得＝2，即解得a＝2，b＝4.所以A＝.(2)解法一：A＝，即＝，所以解得解法二：因为A＝，所以A－1＝.因为A＝，所以＝A－1＝＝.所以9．(2014·泰州模拟)设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．[解] (1)由条件得矩阵M＝.(2)因为矩阵M＝的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－2)，令f(λ)＝0，解得特征值为λ1＝1，λ2＝2，设属于特征值λ1的矩阵M的一个特征向量为e1＝，则Me1＝＝，解得y＝0，取x＝1，得e1＝；同理，对于特征值λ2，解得x＝0，取y＝1，得e2＝.10．已知二阶矩阵A＝.5\n(1)求矩阵A的特征值和特征向量；(2)设向量β＝，求A5β.[解] (1)矩阵A的特征多项式f(λ)＝＝(λ－3)(λ＋2)．令f(λ)＝0得λ＝3或λ＝－2.将λ＝3代入二元一次方程组解得y＝0.所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.将λ＝－2代入二元一次方程组取x＝1，则y＝－1.所以矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量为.(2)由(1)可知向量β是矩阵A的属于特征值－2的一个特征向量，所以A5β＝λ5β＝.[B级 能力提升练]1．(2014·镇江模拟)已知矩阵A＝有一个属于特征值1的特征向量α＝.(1)求矩阵A；(2)矩阵B＝，点O(0,0)，M(2，－1)，N(0,2)，求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．[解] (1)由已知得＝1·，所以解得故A＝.(2)AB＝＝，所以(AB)＝＝，(AB)＝＝，(AB)＝＝，即点O，M，N变成点O′(0,0)，M′(4,0)，N′(0,4)，△O′M′N′的面积为×4×4＝8.5\n2．已知矩阵A＝将直线l：x＋y－1＝0变换成直线l′.(1)求直线l′的方程；(2)判断矩阵A是否可逆？若可逆，求出矩阵A的逆矩阵A－1；若不可逆，请说明理由．[解] (1)在直线l上任取一点P(x0，y0)，设它在矩阵A＝对应的变换作用下变为Q(x，y)．∵＝，∴即又∵点P(x0，y0)在直线l：x＋y－1＝0，∴＋－1＝0，即直线l′的方程为4x＋y－7＝0.(2)∵|A|＝＝7≠0，∴矩阵A可逆．设A－1＝，∴AA－1＝，解之得∴A－1＝.3．给定矩阵M＝及向量α＝.(1)求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；(2)确定实数a，b，使向量α可以表示为α＝ae1＋be2；(3)利用(2)中的表达式计算M3α，Mnα.[解] (1)矩阵特征多项式f(λ)＝(λ－2)(λ－1)－30＝λ2－3λ－28.令f(λ)＝0得M的特征值为λ1＝－4，λ2＝7，属于特征值λ1＝－4的一个特征向量e1＝，属于特征值λ1＝7的一个特征向量e2＝.(2)由a＋b＝，解得a＝1，b＝3，所以α＝e1＋3e2.(3)M3α＝M3(e1＋3e2)＝M3e1＋3M3e2＝λe1＋3λe2＝.同理，Mnα＝.5
