活页作业 逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量一、选择题1．若AB＝I，则下列说法不正确的是( )A．矩阵A一定存在逆矩阵B．矩阵B一定存在逆矩阵C．A－1≠B D．ABA＝A解析：由于AB＝I，故A－1＝B，B－1＝A，又AB＝I，故ABA＝IA＝A.答案：C2．行列式×－的值为( )A．4 B．－4C．－5 D．53.的逆矩阵为( )解析：设逆矩阵为，则＝，6\n5．(2022·江苏高考改编)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，则矩阵A的特征值为( )A．－1 B．4C．－1,4 D．－1,3解析：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为A－1＝，所以A＝(A－1)－1＝，于是矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4.答案：C6．已知M＝，α＝，则M20α＝( )6\nA. B.C. D.解析：矩阵M的特征多次式为f(λ)＝(λ－1)2－4＝0，解得特征值为λ1＝3或λ2＝－1，对应的特征向量分别为和，而α＝＋2，所以M20α＝320＋2(－1)20＝.答案：D二、填空题7．已知B＝，则矩阵B＝________.8．(金榜预测)已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，则矩阵M的特征值为________．6\n解析：由＝.所以2－2a＝－4所以a＝3.所以M＝，则矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得λ＝－1或λ＝4，即矩阵M的特征值为－1与4.答案：－1与49．已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量α2＝，则矩阵A的逆矩阵为__________．三、解答题10．(2022·苏州模拟)设矩阵M＝.(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)求矩阵M的特征值．解：(1)矩阵A＝(ad－bc≠0)的逆矩阵为A－1＝6\n所以矩阵M的逆矩阵M－1＝(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ－5.令f(λ)＝0，得到M的特征值为－1或5.11．(2022·福建高考)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1.(1)求实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．12．已知向量在矩阵M＝的变换下得到的向量是.(1)求m的值；(2)求曲线y2－x＋y＝0在矩阵M－1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．解：(1)因为＝.所以＝，即m＝1.(2)因为M＝，所以M－1＝.设曲线y2－x＋y＝0上任意一点(x，y)在矩阵M－1所对应的线性变换作用下的象是(x′，6\ny′)．则＝＝，所以，得，代入曲线y2－x＋y＝0得y′2＝x′.由(x，y)的任意性可知，曲线y2－x＋y＝0在矩阵M－1对应的线性变换作用下的曲线方程为y2＝x.6
