x4-2-2矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量练习苏教版选修4-2一、填空题1．已知A＝可逆，则实数a的取值范围是________．解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)≠0，即6－3a≠0，∴a≠2，∴a的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M＝，则矩阵M的特征向量可以是________．解析：矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝λ2－1.由于f(λ)＝0得矩阵M的特征值为λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M属于特征值λ＝1的一个特征向量为，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为.答案：3．设可逆矩阵A＝的逆矩阵A－1＝，则a＝________，b＝________，c＝节________．解析：由AA－1＝E得＝，即解方程组得a＝2，b＝－，c＝.答案：2 － 6\n4．已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组的矩阵形式是＝，它是把向量绕原点作逆时针旋转变换得到，所以解方程组就是把向量绕原点作顺时针旋转的旋转变换．答案：5．A＝，则A－1＝________．解析：A＝＝，∵|A|＝×－×＝1≠0.∴A－1＝.答案：6．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a→1，b→2，…，z→26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67，30，31，8，此组密码所发信息为________．解析：因为A＝，所以detA＝＝2≠0，6\n所以A－1＝，而密码矩阵为B＝，故明码矩阵X＝A－1B＝＝，对应信息为“good”．答案：good7．矩阵M＝的特征值与特征向量分别为________．解析：由＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.设属于特征值λ1＝4的特征向量为，则它满足方程(λ1＋1)x＋(－2)y＝0，即5x－2y＝0.故可取为属于特征值λ1＝4的一个特征向量．设属于特征值λ2＝－2的特征向量为，同理可得x＋2y＝0.故可取为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M＝有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝.答案：λ1＝4，α1＝和λ2＝－2，α2＝8．已知矩阵A＝，B＝，则满足方程AX＝B的二阶矩阵X＝________．解析：∵A＝，∴|A|＝＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0.∴A－1＝.∵AX＝B，∴X＝A－1B，∴X＝＝.6\n答案：二、解答题9．已知矩阵A＝，B＝，C＝，求满足AXB＝C的矩阵X.解：AXB＝C，所以(A－1A)XB·B－1＝A－1CB－1而A－1AXB·B－1＝EXBB－1＝X(BB－1)＝X，所以X＝A－1CB－1因为A－1＝，B－1＝，所以X＝A－1CB－1＝＝＝.10．已知矩阵A＝.(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵An.解：(1)矩阵A的特征方程为＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0.得矩阵A的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A属于λ1的特征向量为α1＝；当λ2＝2时，A属于λ2的特征向量为α2＝.(2)设An＝Anα1＝8nα1，Anα2＝2nα2，即＝＝，6\n即解得a＝，b＝，c＝，d＝.故An＝.11．给定矩阵M＝，N＝，向量α＝.(1)求证：M和N互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值．解：(1)证明：因MN＝＝，且NM＝＝，所以M和N互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝＝，所以α是N的特征向量．因为Nα＝＝，所以α是N的特征向量．(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，6\n故1是矩阵M和N的一个公共特征值．12．(2022·高考福建卷)设矩阵M＝(其中a>0，b>0)①若a＝2，b＝3，求M的逆矩阵M－1；②若曲线C：x2＋y2＝1，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．解：①设M－1＝，则MM－1＝又M＝，∴＝.∴2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1.即x＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.∴M－1＝.②设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P′(x′，y′)，则＝，∴，又点P′(x′，y′)在C′上，所以＋y′2＝1.即＋b2y2＝1为曲线C的方程．又C的方程为x2＋y2＝1，∴又a>0，b>0，所以6
