【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习第10章第7节随机变量及其分布、均值与方差课后限时自测理苏教版[A级 基础达标练]一、填空题1．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是________．[解析] 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.[答案] 2．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：ξ－101P0.51－2qq2则q＝________.[解析] 由分布列的性质得：⇒∴q＝1－.[答案] 1－3．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中，a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.[解析] 由题意知则2b＝1－b，则b＝，a＋c＝，所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝.[答案] 6\n4．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．[解析] 事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝.[答案] 5．(2014·浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[解析] 设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以D(ξ)＝＋×0＋×1＝.[答案] 6．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.则随机变量ξ的分布列是________．[解析] 若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C对相交棱，因此P(ξ＝0)＝＝＝.若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，故P(ξ＝)＝＝，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝，所以随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)[答案] ξ01P(ξ)7.设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.[解析] 由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n.6\n所以取到每个数的概率均为.∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3，∴n＝10.[答案] 108．(2013·上海高考)设非零常数d是等差数列x1，x2，x3，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，则方差D(ξ)＝________.[解析] 由等差数列的性质，＝＝＝x10，∴D(ξ)＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x19－)2]＝d2(12＋22＋32＋…＋92)＝30d2.[答案] 30d2二、解答题9．(2014·连云港检测)设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件数．(1)求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；(2)求X的概率分布和数学期望E(X)．[解] (1)“第一次取得正品且第二次取得次品”记为事件A.则P(A)＝＝＝.(2)X的所有可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝.故X的概率分布为X012P数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.6\n10．某市为提高驾驶员的安全责任意识，特举办了一场“交通运输安全知识竞赛”，此次比赛分初赛、复赛、决赛三个关卡，每场比赛后都有一场复活赛，只有当该场比赛或该场比赛的复活赛过关才可以参加下一场比赛，三个关卡均通过即可获得奖品．已知王某通过初赛及其复活赛的概率均为，通过复赛及其复活赛的概率均为，通过决赛及其复活赛的概率均为，且每场比赛或其复活赛过关与否互不影响．(1)求王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率；(2)若王某不放弃所有比赛机会，记ξ为参加比赛的次数，求ξ的分布列与数学期望．[解] (1)设“初赛一次过关”为事件A1；“需参加初赛的复活赛才能过关”为事件A2；“复赛一次过关”为事件B1；“需参加复赛的复活赛才能过关”为事件B2；“决赛一次过关”为事件C1；“需参加决赛的复活赛才能过关”为事件C2；则A1、A2、B1、B2、C1、C2相互独立．所以王某不需要参加复活赛就可获得奖品的概率为P＝P(A1B1C1)＝P(A1)·P(B1)·P(C1)＝××＝.(2)ξ的所有可能取值为2,3,4,5,6，∵P(ξ＝2)＝P()＝×＝，P(ξ＝3)＝P(A1B1C1＋A1)＝××＋××＝，P(ξ＝4)＝P(A1B2C1＋A1B1＋A1B1C2＋A2＋A2B1C1)＝×××＋×××＋×××＋×××＋×××＝，P(ξ＝5)＝P(A1B2C2＋A1B2＋A2B2C1＋A2B1＋A2B1C2)＝××××＋××××＋××××＋××××＋×××＝，P(ξ＝6)＝P(A2B2＋A2B2C2)＝×××××＋××××＝，∴ξ的分布列为ξ23456PE(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝6\n＝＝.[B级 能力提升练]一、填空题1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于________．[解析] ∵a＋＋＝1，∴a＝，∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.[答案] 2．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.[解析] 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B，从而有E(ξ)＝np＝4×＝.[答案] 二、解答题3．(2014·苏州质检)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束．(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．[解] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A)＝＝.(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4，则6\nP(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝·＝，P(X＝3)＝··＝，P(X＝4)＝···＝.故X的分布列为X1234PE(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.6
