课时作业80 参数方程一、填空题1．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．解析：两式相减得，x－y＝2－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝02．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a·，即x＝y＋，∵l1∥l2，∴2＝.∴a＝4.答案：43．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的动点，记以射线Ox为始边、以射线OP为终边的最小正角为θ，则以θ为参数的圆C的参数方程为________．解析：圆C的圆心为(2,0)，半径为2，如图，由圆的性质知以射线Cx为始边、以射线CP为终边的最小正角为2θ，所以圆C的参数方程为(θ为参数)．答案：(θ为参数)4．已知点P是曲线C：(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为坐标原点，直线PO的倾斜角为，则P点的直角坐标是________．解析：将曲线C的参数方程化为普通方程，得＋＝1(y≥0)，因为直线OP4\n的倾斜角为，所以其斜率为1，则直线OP的方程为y＝x，联立方程，解得y＝，即P点的坐标为(，)．答案：(，)5．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：ρcosθ＝4化为普通方程x＝4，化为普通方程y2＝x3，联立解得A(4,8)，B(4，－8)，故|AB|＝16.答案：166．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是__________．答案：|t1|7．直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．解析：曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.答案：8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：曲线C1的普通方程为y2＝x(y≥0)，曲线C2的普通方程为x2＋y2＝2.由解得即交点坐标为(1,1)．答案：(1,1)9．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．解析：消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.答案：1二、解答题10．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x4\n轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ＝cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．解：(1)将y＝ρsinθ，x＝ρcosθ代入ρ2sin2θ＝ρcosθ中，得y2＝x，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝x.(2)把代入y2＝x整理得，t2＋t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝＝3.11．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线方程与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同．tant＝，t＝.故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即(，)．1．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.4\n∴解得ρ＝2，θ＝±，故圆C1与C2交点的坐标为，.(注：极坐标系下点的表示不唯一)(2)由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为－≤t≤.(或参数方程写成－≤y≤)2．在直角坐标系xOy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcosθ＋5＝0化为直角坐标方程为x2＋y2－6x＋5＝0.直线l的参数方程为(t为参数)．将(t为参数)代入x2＋y2－6x＋5＝0整理得，t2－8tcosα＋12＝0.∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64cos2α－48≥0，∴cosα≥或cosα≤－.∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是∪.(2)曲线C的方程x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，其参数方程为(θ为参数)．∵M(x，y)为曲线C上任意一点，∴x＋y＝3＋2cosθ＋2sinθ＝3＋2sin(θ＋)，∴x＋y的取值范围是[3－2，3＋2]．4
