课时作业46 空间点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．答案：A2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案：D3．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直，故选D.答案：D4．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析：取DD1的中点F，连接CF，∠D1CF为BE与CD1所成的角，取AB＝1，则cos∠D1CF＝＝.故直线BE与CD1所成角的余弦值为.答案：C5．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )7\nA．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．答案：D6．已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3解析：命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.答案：C二、填空题7．三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是________．解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点．答案：0或18．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．解析：如图，连接DF，因为DF与AE平行，所以∠DFD1即为异面直线AE与D1F所成角的平面角，设正方体的棱长为2，则FD1＝FD＝，由余弦定理得cos∠DFD1＝＝.7\n答案：9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．解析：在正四面体中取CD的中点G，连接FG，EG，作FH⊥平面CDE于点H.因为正四面体的高FH在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，∴可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共4个．答案：4三、解答题10．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)由BE綊AF，G为FA中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.7\n由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．11．已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示：(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1—BCA1的体积．解：(1)连接AO，并延长与BC交于点D，则AD是BC边上的中线．∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C.∵CC1⊥BC，即四边形BCC1B1为正方形，∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为.(2)∵三棱柱的所有棱长都为2，∴可求得AD＝，AO＝AD＝，A1O＝＝.∴VABC—A1B1C1＝S△ABC·A1O＝2，VA1—B1C1CB＝VABC—A1B1C1－VA1—ABC＝.7\n∴VC1—BCA1＝VA1—BCC1＝VA1—BCC1B1＝.1．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A．α∥β，且l∥αB．α⊥β，且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由题意可知α与β相交，可能垂直，故A，B错；因交线分别垂直于异面直线m，n，又l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，所以交线平行于l，故选D.答案：D2．(2014·大纲全国卷)已知二面角α—l—β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析：如图，在平面α内过C作CE∥AB，则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角，不妨取CE＝1，过E作EO⊥β于O.在平面β内过O作OH⊥CD于H，连EH，则EH⊥CD.因为AB∥CE，AB⊥l，所以CE⊥l.又因为EO⊥平面β，所以CO⊥l.故∠ECO为二面角α—l—β的平面角，所以∠ECO＝60°.而∠ACD＝135°，CO⊥l，所以∠OCH＝45°.在Rt△ECO中，CO＝CE·cos∠ECO＝1·cos60°＝.7\n在Rt△COH中，CH＝CO·cos∠OCH＝·sin45°＝.在Rt△ECH中，cos∠ECH＝＝＝.答案：B3．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SB⊥底面ABCD.底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝1，AD＝3，CD＝2.若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC＝90°的点E的个数是________． 解析：由于SB⊥底面ABCD，SE在底面ABCD上的射影为BE，要使∠SEC＝90°，只要BE⊥EC即可．由平面几何知识可知，以BC为直径的圆与AD有两个交点，故满足条件的E点的个数是2.答案：24．如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F＝2BF.(1)求证：EF⊥A1C1；(2)在棱C1C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长．解：(1)证明：如图所示，连接B1D1，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴四边形A1B1C1D1为正方形．7\n∴A1C1⊥B1D1，且BB1⊥平面A1B1C1D1.∴A1C1⊥BB1.∵B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D.∵EF⊂平面BB1D1D，∴EF⊥A1C1.(2)如图所示，假设A，E，G，F四点共面，则A，E，G，F四点确定平面AEGF，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴平面AA1D1D∥平面BB1C1C.∵平面AEGF∩平面AA1D1D＝AE，平面AEGF∩平面BB1C1C＝GF，∴由平面与平面平行的性质定理得AE∥GF，同理可得AF∥GE，因此四边形AEGF为平行四边形，∴GF＝AE.在Rt△ADE中，AD＝a，DE＝DD1＝，∠ADE＝90°，由勾股定理得AE＝＝＝a，在直角梯形B1C1GF中，下底B1F＝BB1＝a，直角腰B1C1＝a，斜腰GF＝AE＝a，由勾股定理可得GF＝＝＝a，结合图形可知C1G<B1F，解得C1G＝a.7
