课时作业54 直线的交点与距离公式一、选择题1．已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2的”( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件为(a－2)＋a(a－2)＝0解得a＝－1或a＝2，故“a＝－1”是l1⊥l2的充分不必要条件，故选A.答案：A2．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为( )A.B．－C．2D．－2解析：∵l2，l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3.即y＝x＋.∴l2的斜率为.答案：A3．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为( )A．(1,2)B．(2,1)C．(1,2)或(2，－1)D．(2,1)或(－1,2)解析：设P(x,5－3x)，则d＝＝，|4x－6|＝2,4x－6＝±2，∴x＝1或x＝2，∴P(1,2)或(2，－1)．答案：C4．直线x－2y＋1＝0关于直线y－x＝1对称的直线方程是( )A．2x－y＋2＝0B．3x－y＋3＝06\nC．2x＋y－2＝0D．x－2y－1＝0解析：设所求直线上任一点的坐标为(x1，y1)，它关于y－x＝1对称点的坐标为(x0，y0)，则，得对称点的坐标为(y1－1，x1＋1)，且点(y1－1，x1＋1)在直线x－2y＋1＝0上，所以y1－1－2(x1＋1)＋1＝0，化简得2x1－y1＋2＝0，故选A.答案：A5．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l的条数为( )A．1B．2C．3D．4解析：由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条．答案：C6．已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( )A．4B．3C．2D．1解析：设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝2，且S△ABC＝2.则△ABC中AB边上的高h满足方程×2h＝2，即h＝.由点到直线的距离公式得＝.∴t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．答案：A二、填空题7．过两直线7x＋5y－24＝0与x－y＝0的交点，且与点P(5,1)的距离为的直线的方程为________．解析：设所求的直线方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)x＋(5－λ)y－24＝0.∴＝，解得λ＝11.故所求直线方程为3x－y－4＝0.答案：3x－y－4＝08．已知实数x、y满足2x＋y＋5＝0，那么的最小值为________．6\n解析：表示点(x，y)到原点的距离．根据数形结合得的最小值为原点到直线2x＋y＋5＝0的距离，即d＝＝.答案：9．已知＋＝1(a>0，b>0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．解析：点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离d＝＝(a＋2b)(＋)＝(3＋＋)≥(3＋2)＝.当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．答案：三、解答题10．已知直线l1：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3：x＋ky＋k＋＝0，分别求满足下列条件的k的值：(1)l1，l2，l3相交于一点；(2)l1，l2，l3围成三角形．解：(1)直线l1，l2的方程联立得解得即直线l1，l2的交点为P(－1，－2)．又点P在直线l3上，所以－1－2k＋k＋＝0，解得k＝－.(2)由(1)知k≠－.当直线l3与l1，l2均相交时，有解得k≠且k≠－1，综上可得k≠－，且k≠，且k≠－1.11．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．解：6\n作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.1．若动点A、B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )A．3B．2C．3D．4解析：依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.答案：A2．已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k＋4)＋×2k2×4＝4k2－k＋8＝42＋，故面积最小时，k＝.答案：6\n3．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．解析：设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．又kAC＝＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①又kBD＝＝－1，∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②由①②得∴∴M(2,4)．答案：(2,4)4．如图，函数f(x)＝x＋的定义域为(0，＋∞)．设点P是函数图象上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，N.(1)证明：|PM|·|PN|为定值；(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．解：(1)证明：设P(x0>0)．则|PN|＝x0，|PM|＝＝，因此|PM|·|PN|＝1.(2)直线PM的方程为y－x0－＝－(x－x0)，即y＝－x＋2x0＋.6\n解方程组得x＝y＝x0＋，S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝|PN||ON|＋|PM||OM|＝x0＋＝＋≥1＋，当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，因此四边形OMPN面积的最小值为1＋.6
