课时作业78 直线与圆的位置关系一、填空题1．如图，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝________.解析：由弦切角定理得，∠MCA＝∠ABC，sin∠ABC＝＝＝＝.答案：2．(2014·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O的半径等于________．解析：设线段AO交BC于点D延长AO交圆与另外一点E，则BD＝DC＝，由三角形ABD8\n的勾股定理可得AD＝＝1，由切割线定理可得BD·DC＝AD·DE⇒DE＝2，则直径AE＝3⇒r＝，故填.答案：3．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．解析：∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴＝＝，∵＝，＝，∴＝.答案：8\n4．如图，D是圆O的直径AB延长线上一点，PD是圆O的切线，P是切点，∠D＝30°，AB＝4，BD＝2，PA＝________.解析：连接PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30°，所以∠POD＝60°，并且AO＝2，∠POA＝120°，PO＝2，在△POA中，由余弦定理知，PA＝2.答案：25．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB＝3，则切线AD的长为________．解析：取BC的中点E，连接OE，OB易知OE＝2，OB＝3，故BE＝＝1，从而BC＝2，故AC＝5，由切割弦定理得AD2＝AB·AC，故AD2＝15，从而AD＝.答案：6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.解析：由题易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案：27．(2014·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B8\n.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.解析：由切割线定理得QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，PB＝PA＝2QA＝4.答案：48．高速公路上的隧道和桥梁较多．如上图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆的半径________米．解析：设圆的半径为R米，由题意得OD2＋AD2＝OA2，即(7－R)2＋25＝R2，解得R＝.答案：9．如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O′上且不与点A，B重合，则∠ACB＝________.8\n解析：连接O′A，O′B，O′O，由⊙O与⊙O′外切且半径相等得O′A＝O′O，又因O′A⊥OA，所以∠AOO′＝30°，同理∠BOO′＝30°，故∠AOB＝60°，由四边形的内角和为360°得∠AO′B＝120°，故∠ACB＝∠AO′B＝60°.答案：60°二、解答题10．(2014·新课标全国卷Ⅰ)如右图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.8\n又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．11．如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.(1)求证：四边形ACBE为平行四边形；(2)若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．解：解：(1)证明：因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.所以∠ABC＝∠BAE.所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(2)因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝.8\n1．已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于点D，F两点，若∠ACB＝20°，则∠AFD＝________.解析：因为AC为圆的切线，由弦切角定理，则∠B＝∠EAC，又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD，根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD，因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形，所以∠ADF＝∠AFD＝45°.答案：45°2．如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是________．解析：由题意，根据切线长定理，有BD＝BF，CE＝CF，所以AD＋AE＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝(AB＋BF)＋(AC＋CF)＝AB＋AC＋(BF＋CF)＝AB＋AC＋BC，所以①正确；因为AD，AE是圆的切线，根据切线长定理，有AD＝AE，又因为AG是圆的割线，所以根据切割线定理有AD2＝AF·AG＝AD·AE，所以②正确；根据弦切角定理有∠ADF＝∠AGD，又因为BD＝BF，所以∠BDF＝∠BFD＝∠ADF，在△AFB中，∠ABF＝2∠ADF＝2∠AGD，所以③错误．答案：①②8\n3．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明：(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA，所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.8
