课时作业56直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题22221.圆C1:x+y=1与圆C2:x+(y-3)=1的内公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:圆心距为3,半径之和为2,故两圆外离,内公切线条数为2.答案:B22→→2.已知直线ax+by+c=0与圆O:x+y=1相交于A,B两点,且|AB|=3,则OA·OB的值是()11A.-B.2233C.-D.44→→解析:在△OAB中,由|OA|=|OB|=1,|AB|=3,可得∠AOB=120°,所以OA·OB=11×1×cos120°=-.2答案:A223.(2014·安徽卷)过点P(-3,-1)的直线l与圆x+y=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()ππA.(0,]B.(0,]63ππC.[0,]D.[0,]63解析:设斜率为k,则直线l的方程为y+1=k(x+3),即kx-y+3k-1=0,由题|3k-1|π可得≤1,解得0≤k≤3.设倾斜角为α,则0≤tanα≤3,得0≤α≤.2k+13答案:D22→→4.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)+(y-3)=4相交于A,B两点,则CA·CB的值为()A.-1B.01\nC.1D.6|3-3+2|解析:由题意可知,圆心C(3,3)到直线AB:x-y+2=0的距离为d==2.221+1d2→→又因为sin∠BAC==,所以∠BAC=45°,又因为CA=CB,所以∠BCA=90°.故CA·CB=r20.答案:B222225.若圆(x-a)+(y-b)=b+1始终平分圆(x+1)+(y+1)=4的周长,则a,b满足的关系是()222A.a+2a+2b-3=0B.a+b+2a+2b+5=022C.a+2a+2b+5=0D.a-2a-2b+5=022解析:两圆的公共弦必过(x+1)+(y+1)=4的圆心,两圆相减得相交弦的方程为-2(a22+1)x-2(b+1)y+a+1=0,将圆心坐标(-1,-1)代入可得a+2a+2b+5=0.答案:C226.已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x+y=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且→→3→有|OA+OB|≥|AB|,那么k的取值范围是()3A.(3,+∞)B.[2,+∞)C.[2,22)D.[3,22)解析:→→3→当|OA+OB|=|AB|时,O,A,B三点为等腰三角形的三个顶点,其中OA=OB,∠AOB3→=120°,从而圆心O到直线x+y-k=0(k>0)的距离为1,此时k=2;当k>2时|OA+→3→22OB|>|AB|,又直线与圆x+y=4存在两交点,故k<22,综上,k的取值范围为[2,22),3故选C.答案:C二、填空题2\n227.(2014·重庆卷)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x+y+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为________.22解析:圆C的标准方程为(x+1)+(y-2)=9,则圆心C(-1,2),半径r=3.由题可得32|-1-2+a|32AB=32,则圆心到直线的距离d=,所以=,解得a=0或6.2221+-12答案:0或622228.若圆x+y=4与圆x+y+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为23,则a=________.22221解析:方程x+y+2ay-6=0与x+y=4相减得2ay=2,则y=.由已知条件a2212-3=,即a=1.a答案:19.两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线x-y+c=0上,且m,c均为实数,则m+c=________.1+m,1解析:根据两圆相交的性质可知,两点(1,3)和(m,-1)的中点2在直线x-y+c=0上,并且过两点的直线与x-y+c=0垂直,故有1+m-1+c=0,23--1×1=-1,1-m∴m=5,c=-2,∴m+c=3.答案:3三、解答题2210.已知点P(0,5)及圆C:x+y+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43,求l的方程;(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解:3\n22(1)如图所示,|AB|=43,将圆C方程化为标准方程为(x+2)+(y-6)=16,∴圆C的圆心坐标为(-2,6),半径r=4,设D是线段AB的中点,则CD⊥AB,∴|AD|=23,|AC|=4.C点坐标为(-2,6).在Rt△ACD中,可得|CD|=2.设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.|-2k-6+5|由点C到直线AB的距离公式:=2,22k+-13得k=.4故直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),→→即CD⊥PD,即CD·PD=0,∴(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,22化简得所求轨迹方程为x+y+2x-11y+30=0.11.在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:2x-y-4=0,设圆C的半径为1,圆心在直线l上.(1)若圆心C也在直线2x-3y=0上,过点A作圆C的切线,求切线的方程.22(2)若圆C与圆D:x+y+2y-3=0有公共点,求圆心C的横坐标a的取值范围.2x-y-4=0,解:(1)由得圆心C(3,2),2x-3y=0又因为圆的半径为1,22所以圆C的方程为(x-3)+(y-2)=1,设过点A的切线方程为y=kx+3,|3k+3-2|圆心到直线的距离为=1,21+k3解得k=0或k=-.4故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线2x-y-4=0上,22设圆C的方程为(x-a)+[y-2(a-2)]=1,2222圆D:x+y+2y-3=0,即x+(y+1)=4,4\n因为圆C与圆D有公共点,22则|2-1|≤|CD|≤2+1,即1≤a+2a-3≤3,212所以5a-12a≤0,得0≤a≤.51.动圆C经过点F(1,0),并且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+22+1总有公共点,则圆C的面积()A.有最大值8πB.有最小值2πC.有最小值3πD.有最小值4π222解析:设圆心为C(a,b),半径为r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)+b=(a+1),即a1212b,b12=b,∴圆心为4,r=b+1,圆心到直线y=x+22+1的距离为d=442b|-b+22+1|24b1≤+1,∴b≤-2(22+3)或b≥2,当b=2时,rmin=×4+1=2,∴Smin2442=πr=4π.答案:D2.(2014·江西卷)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为()4π3πA.B.545πC.(6-25)πD.4解析:∵∠AOB=90°,∴点O在圆C上.设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D,则点C与点O间的距离等于它到直线2x+y-4=0的距离,∴点C在以O为焦点,以直线2x+y-4=0为准线的抛物线上,∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.|2×0+0-4|4又|OD|==,552∴圆C的最小半径为,55\n224∴圆C面积的最小值为π5=π.5答案:A2223.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x+y-2mx-4y+m-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围为________.222解析:由题意得圆心C(m,2),半径r=42.因为点P(3,0)在圆C:x+y-2mx-4y+m22-28=0内,所以3+0-6m-0+m-28<0,解得3-27<m<3+27.设C到直线的距离为d,22221122d+r-dr222则d≤|CP|.又S△ABC=d·|AB|=d·2r-d≤==16,当且仅当d=r-d,即222222d=16,d=4时取等号,因此|CP|≥4,m-3+4≥4,即m≥3+23或m≤3-23.综上,实数m的取值范围为[3+23,3+27)∪(3-27,3-23].答案:[3+23,3+27)∪(3-27,3-23]4.已知圆心为C的圆,满足下列条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为23,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.222解:(1)设圆C:(x-a)+y=R(a>0),由题意知|3a+7|=R32+4213,解得a=1或a=,28a+3=R2又∵S=πR<13,∴a=1,22∴圆的方程为(x-1)+y=4.(2)当斜率不存在时,直线l为:x=0,不满足题意.当斜率存在时,设直线l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),又∵l与圆C相交于不同的两点,y=kx+322联立,消去y得:(1+k)x+(6k-2)x+6=0,22x-1+y=4222∴Δ=(6k-2)-24(1+k)=12k-24k-20>0,2626解得k<1-或k>1+.336k-22k+6x1+x2=-2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2,1+k1+k6\n→→→→OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3),→→假设OD∥MC,则-3(x1+x2)=y1+y2,6k-22k+6∴3×=,221+k1+k32626解得k=∉(-∞,1-)∪(1+,+∞),假设不成立,433∴不存在这样的直线l.7