课时作业39 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2014·广东卷)若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )A．8 B．7 C．6 D．5解析：画出如图阴影部分所示的可行域，易知z＝2x＋y在点(2，－1)与(－1，－1)处分别取得最大值m＝3和最小值n＝－3，∴m－n＝6，选C.答案：C2．(2014·湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机抽取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.解析：9\n由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝，选D.答案：D3．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值是( )A．－6B．－2C．0D．2解析：由题中条件画出封闭区域如图中阴影部分所示．结合图形知，z＝2x－y在A(－2,2)处取得最小值，且zmin＝2×(－2)－2＝－6.答案：A4．(2014·安徽卷)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.或－1B．2或C．2或1D．2或－1解析：画出如图阴影部分所示的可行域，z＝y－ax表示的直线向上移动取到最大值，z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则当a>0时，z＝y－ax与2x－y＋2＝0平行．所以a＝2，而当a<0时，z＝y－ax与x＋y－2＝0平行，所以a＝－1，综上a＝2或－1.答案：D9\n5．(2014·福建卷)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )A．5B．29C．37D．49解析：由题意，画出可行域Ω，圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，所以b＝1.所以圆心在直线y＝1上，求得与直线x－y＋3＝0，x＋y－7＝0的两交点坐标分别为A(－2,1)，B(6,1)，所以a∈[－2,6]．所以a2＋b2＝a2＋1∈[1,37]，所以a2＋b2的最大值为37.故选C.答案：C6．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为( )A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：设旅行社租A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则z＝1600x＋2400y＝800(2x＋3y)．由题中条件可得约束条件为：据此画出可行域如图中阴影部分区域内的整数点．9\n令z′＝2x＋3y，结合图形知z′＝2x＋3y在A(5,12)处取得最小值，且最小值为2×5＋3×12＝46，∴z的最小值为800×46＝36800.答案：C二、填空题7．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数a的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部分，直线2x＋y＝6交x轴于点A(3,0)，交直线x＝1于点B(1,4)，当直线x＋y＝a与直线2x＋y＝6的交点在线段AB(不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A的坐标代入直线x＋y＝a的方程得3＋0＝a，即a＝3，将点B的坐标代入直线x＋y＝a的方程得a＝1＋4＝5，故实数a的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)8．若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．解析：由题中约束条件画出可行域如图中阴影部分所示．结合图形知，z＝x＋y在A(4,2)处取得最大值，且zmax＝4＋2＝6.答案：69．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．9\n解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.答案：21三、解答题10．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组．(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为：(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－9\na)<0，得a的取值范围是－18<a<14.故a的取值范围是(－18,14)．11．变量x，y满足(1)设z＝，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围．解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．由解得A.由解得C(1,1)．由解得B(5,2)．(1)∵z＝＝，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．观察图形可知zmin＝kOB＝.(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin＝1－(－3)＝4，dmax＝5－(－3)＝8.∴16≤z≤64.1．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线2x＋y＝0上任意一点，O为坐标原点，则|＋|的最小值为( )9\nA.B.C.D．1解析：在直线2x＋y＝0上取一点Q′，使得＝，则|＋|＝|＋|＝||≥||≥||，其中P′，B分别为点P，A在直线2x＋y＝0上的投影，如图：因为||＝＝，因此|＋|min＝，故选A.答案：A2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A．2B．2C．4D．4解析：由||＝||＝·＝||||·cos〈，〉＝2知〈，〉＝.不妨设＝(2,0)，＝(1，)，＝(x，y)，∵＝λ＋μ，∴(x，y)＝λ(2,0)＋μ(1，)，则解得由|λ|＋|μ|≤1得|x－y|＋|2y|≤2.作可行域如图阴影部分所示．9\n则所求面积S＝2××4×＝4.答案：D3．给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．解析：由区域D：画出可行域如图阴影部分所示．经平移可知目标函数z＝x＋y在A(0,1)处取得最小值，在线段BC处取得最大值，而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值时的整数点，在取最大值时线段BC上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的点共确定6条不同的直线．答案：64．已知实数x，y满足则的最小值是________．解析：可行域如图阴影部分所示，令＝k，所以y＝.当k<0时抛物线的开口向下，不合条件．当k>0时，有两种情况：当k取最小值即抛物线过点A.所以的最小值是；当抛物线y＝与直线x－y－1＝0相切时，联立方程组消掉y得到x2－kx＋k＝0，∴Δ＝k2－4k＝0，∴k＝4，此时的最小值是4.综上可知的最小值是4.9\n答案：49
