课时作业33 等差数列一、选择题1．(2014·重庆卷)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝( )A．5B．8C．10D．14解析：设{an}的公差为d，则a1＋2d＋a1＋4d＝10，又a1＝2，∴4＋6d＝10，∴d＝1，∴a7＝a1＋6d＝8.答案：B2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差是2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A．n(n＋1)B．n(n－1)C.D.解析：由题可知a＝a2a8，则(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，解得a1＝2，Sn＝2n＋·2＝n(n＋1)．答案：A3．设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1＝2a8－3a4，则＝( )A.B.C.D.解析：由题意可得，a1＝2a1＋14d－3a1－9d，∴a1＝d，又＝＝＝＝，故选A.答案：A4．已知等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝0，a11－a4＝4，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S13＝( )A．78B．68C．56D．525\n解析：设等差数列{an}的公差为d，首项为a1，则，解得，∴S13＝13a1＋d＝13×＋78×＝52.答案：D5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为( )A．{5}B．{6}C．{5,6}D．{7}解析：在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，S10＝>0⇒a1＋a10>0⇒a5＋a6>0，S11＝＝0⇒a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an}是递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6.答案：C6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )A．6B．7C．12D．13解析：∵a1>0，a6a7<0，∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于0，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，∴S12>0，S13<0，∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.答案：C二、填空题7．在等差数列{an}中，已知a2＋a9＝5，则3a5＋a7的值为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a2＋a9＝5，∴2a1＋9d＝5，∴3a5＋a7＝3a1＋12d＋a1＋6d＝4a1＋18d＝2(2a1＋9d)＝10.答案：108．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a＝0，S2n－1＝38，则n等于________．解析：∵2an＝an－1＋an＋1，又an－1＋an＋1－a＝0，∴2an－a＝0，即an(2－an)＝0.∵an≠0，∴an＝2.5\n∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10.答案：109．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.答案：130三、解答题10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝3，S5－S2＝27.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Sn,2(an＋1＋1)，Sn＋2成等比数列，求正整数n的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则S5－S2＝3a1＋9d＝27，又a1＝3，则d＝2，故an＝2n＋1.(2)由(1)可得Sn＝n2＋2n，又Sn·Sn＋2＝8(an＋1＋1)2，即n(n＋2)2(n＋4)＝8(2n＋4)2，化简得n2＋4n－32＝0，解得n＝4或n＝－8(舍)，所以n的值为4.11．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项公式an；(2)求Sn的最小值；(3)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.解：(1)∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d>0，∴a3<a4，∴a3＝9，a4＝13，∴∴∴通项公式an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝1，d＝4，∴Sn＝na1＋×d＝2n2－n＝22－，∴当n＝1时，Sn最小，最小值为S1＝a1＝1.5\n(3)由(2)知Sn＝2n2－n，∴bn＝＝，∴b1＝，b2＝，b3＝.∵数列{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即×2＝＋，∴2c2＋c＝0，∴c＝－或c＝0(舍去)，故c＝－.1．已知数阵中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a22＝8，则这9个数的和为( )A．16B．32C．36D．72解析：依题意得a11＋a12＋a13＋a21＋a22＋a23＋a31＋a32＋a33＝3a12＋3a22＋3a32＝9a22＝72.答案：D2．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋3n，若an＋1an＋2＝80，则n的值为( )A．5B．4C．3D．2解析：由Sn＝－n2＋3n，可得an＝4－2n，因此an＋1·an＋2＝[4－2(n＋1)][4－2(n＋2)]＝80，即n(n－1)＝20，解得n＝－4(舍去)或n＝5.答案：A3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1<a3<1,0<a6<3，则S9的取值范围是________．解析：方法1：S9＝9a1＋36d，又依据线性规划知识，得－3<S9<21.方法2：S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6.因为－3<3a3<3,0<6a6<18，两式相加即得－3<S9<21.方法3：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3，a6＋a7＋a8＋a9＝2a6＋2a9，而a3＋a9＝2a6，所以S9＝3a3＋6a6，又－1<a3<1,0<a6<3，依据线性规划知识，得－3<S9<21.答案：(－3,21)4．已知数列{an}是等差数列，bn＝a－a.(1)证明：数列{bn}是等差数列；5\n(2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在实数k，使Sn当且仅当n＝12时取得最大值？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)证明：设{an}的公差为d，则bn＋1－bn＝(a－a)－(a－a)＝2a－(an＋1－d)2－(an＋1＋d)2＝－2d2，∴数列{bn}是以－2d2为公差的等差数列．(2)∵a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k，∴13d＝13－13k，∴d＝1－k，又13a1＋×2d＝130，∴a1＝－2＋12k，∴an＝a1＋(n－1)d＝(－2＋12k)＋(n－1)(1－k)＝(1－k)n＋13k－3，∴bn＝a－a＝(an＋an＋1)(an－an＋1)＝－2(1－k)2n＋25k2－30k＋5.(3)存在满足题意的实数k.由题意可知，当且仅当n＝12时Sn最大，则b12>0，b13<0，即∴解得k<－19或k>21.故k的取值范围为(－∞，－19)∪(21，＋∞)．5
