课时作业9 对数与对数函数一、选择题1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )A．log2xB.C．logxD．2x－2解析：f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.∴f(x)＝log2x.答案：A2．若f(x)＝，则f(x)的定义域为( )A.B.C.∪(0，＋∞)D.解析：由已知得∴即x>－且x≠0，∴选C.答案：C3．函数y＝log2(x2＋1)－log2x的值域是( )A．[0，＋∞)B．(－∞，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：y＝log2(x2＋1)－log2x＝log2＝log2≥log22＝1(x>0)．答案：C4．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )A.B．－6\nC．－bD．b解析：易知f(x)的定义域为(－1,1)，则f(－x)＝lg＝－lg＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．所以f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：C5．函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( )解析：由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.答案：A6．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为( )A.，2B.，4C.，D.，4解析：f(x)＝|log2x|＝6\n根据f(m)＝f(n)(m<n)及f(x)的单调性，知mn＝1且0<m<1，n>1.又f(x)在[m2，n]上的最大值为2，由图象知：f(m2)>f(m)＝f(n)，所以f(x)max＝f(m2)，x∈[m2，n]．故f(m2)＝2，易得n＝2，m＝.答案：A二、填空题7．函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是________．解析：令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，y＝logt为减函数，所以有logt≤log8＝－3.答案：(－∞，－3]8．已知函数f(x)＝则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是________．解析：当x≤0时，由3x＋1>1，得x＋1>0，即x>－1.∴－1<x≤0.当x>0时，由log2x>1，得x>2.∴x的取值范围是{x|－1<x≤0或x>2}．答案：{x|－1<x≤0或x>2}9．(2014·重庆卷)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．解析：根据对数运算性质，f(x)＝log2·log(2x)＝log2x·[2log2(2x)]＝log2x(1＋log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－，当x＝时，函数取得最小值－.6\n答案：－三、解答题10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域．(2)求f(x)在区间上的最大值．解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.由得x∈(－1,3)，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，所以当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.11．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.(1)求函数f(x)的解析式．(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)．因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．所以函数f(x)的解析式为f(x)＝(2)因为f(4)＝log4＝－2，因为f(x)是偶函数，所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得；－<x<，即不等式的解集为(－，)．6\n1．函数y＝的图象大致是( )解析：由函数是奇函数可排除A、B，由x>1时，y>0，故选D.答案：D2．若函数f(x)＝若af(－a)>0，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(0,1)解析：当a>0时，－a<0，所以f(－a)＝loga，所以aloga>0，得0<a<1，当a<0时，－a>0，f(－a)＝log2(－a)，所以a·f(－a)＝a·log2(－a)>0，所以0<－a<1，所以－1<a<0，综合上述，a的取值范围为(－1,0)∪(0,1)．答案：A3．已知函数f(x)＝lgx，g(x)＝lnx，若f(a)＝g(b)，则下列五个关系式：①1<b<a；②a<b<1；③1<a<b；④b<a<1；⑤a＝b＝1.其中正确的关系式的序号是________．解析：在同一坐标系下，作函数f(x)，g(x)的图象，由图象可知，当1<b<a时，f(a)＝g(b)；当a<b<1时，f(a)＝g(b)；当a＝b＝1时，f(a)＝g(b)．故①②⑤正确．答案：①②⑤6\n4．f(x)＝logax(a>0且a≠1)，如果对于任意的x∈都有|f(x)|≤1成立，求a的取值范围．解：由已知f(x)＝logax，当0<a<1时，－|f(2)|＝loga＋loga2＝loga>0，当a>1时，－|f(2)|＝－loga－loga2＝－loga>0，故>|f(2)|总成立．则y＝|f(x)|的图象如图．要使x∈时恒有|f(x)|≤1，只需≤1，即－1≤loga≤1，即logaa－1≤loga≤logaa，当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；当0<a<1时，得a－1≥≥a，得0<a≤.综上所述，a的取值范围是∪[3，＋∞)．6
