课时作业71 古典概型一、选择题1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( )A．2B．4C．6D．8解析：设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个．答案：C2．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.B．C.D．解析：从A、B中各任意取一个数，有(2,1)，(2,2),(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两数之和为4的有(2,2)，(3,1)两种情况，∴所求概率为P＝＝.答案：C3．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是( )A.B．C.D．解析：不妨设取出的三个数为x，y，z(x<y<z)，要满足x＋y＝z，共有20种结果，从十个数中取三个数共有C种结果，故所求概率为＝.答案：A4．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( )7\nA.B．C.D．解析：从编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球中随机取出4个，有C＝210种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件A为“取出球的编号互不相同”，则事件A包含了C·C·C·C·C＝80个基本事件，所以P(A)＝＝.故选D.答案：D5．甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是( )A.B．C.D．解析：所求的概率P＝＝.答案：A6．在二项式n的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A.B．C.D．解析：注意到二项式n的展开式的通项是Tr＋1＝C·()n－r·r＝C·2－r·x.依题意有C＋C·2－2＝2C·2－1＝n，即n2－9n＋8＝0，(n－1)(n－8)＝0(n≥2)，因此n＝8.∵二项式8的展开式的通项是Tr＋1＝C·2－r·x4－，其展开式中的有理项共有3项，所求的概率等于＝，选D.答案：D二、填空题7\n7．一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是________．解析：列举可知，共有36种情况，和为4的情况有10种，所以所求概率P＝＝.答案：8．曲线C的方程为＋＝1，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P(A)＝________.解析：试验中所含基本事件个数为36；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m>n，又只剩下一半情况，即有15种，因此P(A)＝＝.答案：9．某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________．解析：(间接法)甲乙二人均没入选的概率为＝，从而甲、乙有至少有一人入选的概率为1－＝.答案：三、解答题7\n10．甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3))，写出甲乙两人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲乙约定，若甲抽到的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．解：(1)方片4用4′表示，则甲乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)共12种不同的情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为.(3)甲抽到的牌比乙大，有(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，(3,2)，共5种情况．甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝.因为<，所以此游戏不公平．11．某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只能参加一个社团)：围棋社舞蹈社拳击社男生51028女生1530m学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出的6人中有5人是男生的概率；(2)设拳击社团有X名女生被抽出，求X的分布列．解：(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人，∴＝，∴m＝2.设A为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”，则P(A)＝＝.(2)由题意可知：X＝0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，X的分布列为7\nX012P1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为( )A.B．C.D．解析：由题意可知m＝(a，b)有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．m⊥n即m·n＝0，所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率为.答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.B．C.D．解析：方法1：由题意知基本事件总数为24＝16，对4名同学平均分组共有＝3(种)，对4名同学按1,3分组共有C种，所以周六、周日都有同学参加共有3×A＋CA＝14(种)．由古典概型得所求概率为＝.方法2：周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动，此时只有一种情况；同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况，所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16－2＝14(种)．故所求概率为＝.故选D.7\n答案：D3．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________.解析：由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是C＝＝2÷＝28，∴n＝8.答案：84．小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有·，共1种；数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；数量积为0的有·，·，·，·，共4种；数量积为1的有·，·，·，·，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为P1＝；因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率7\nP＝1－P2＝1－＝.7
