专题二 90分解答题大冲关与评分细则【专题定位】数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．【应对策略】解答题是高考数学试卷的重头戏，占整个试卷分数的半壁江山，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对此可以采取以下策略：①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半．②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．17\n【示例】►(2012·苏锡常镇调研测试)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝13，AC＝10，AD＝5，CD＝，·＝50.(1)求cos∠BAC的值；(2)求sin∠CAD的值；(3)求△BAD的面积．解题突破 (1)根据数量积的定义式的变形式求；(2)在△ACD中，利用余弦定理求cos∠CAD，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求∠BAD的正弦值，代入三角形面积公式求解．解 (1)因为·＝||||cos∠BAC，所以cos∠BAC＝＝＝.(2分)(2)在△ADC中，AC＝10，AD＝5，CD＝，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝.(4分)因为∠CAD∈(0，π)，所以sin∠CAD＝＝＝.(6分)(3)由(1)知，cos∠BAC＝.因为∠BAC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝＝＝.(8分)从而sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝sin∠BACcos∠CAD＋cos∠BACsin∠CAD＝×＋×＝.(11分)所以S△BAD＝AB·AD·sin∠BAD＝×13×5×＝28.(14分)17\n评分细则 (1)没有写cos∠BAC＝直接计算的，扣1分.,(2)不交代∠CAD的范围的，扣1分；,(3)不交代∠BAC范围的，扣1分.【突破训练】(2012·苏锡常镇调研测试(一))在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝，n＝，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若a2＝2b2＋c2，求tanA的值．解 (1)∵m⊥n，∴m·n＝0.则2cos2－2sin2C＝0.(2分)(阅卷说明：无中间分)∵C∈(0，π)，∴cos＞0，sinC＞0.∴cos＝sinC(4分)(阅卷说明：得到2cos2C＋cosC－1＝0也得2分)则sin＝.(6分)又∈，∴＝.则C＝.(8分)(阅卷说明：以上有一处写范围不扣分，否则扣1分)(2)∵C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－ab.又∵a2＝2b2＋c2，∴a2＝2b2＋a2＋b2－ab.则a＝3b.(10分)由正弦定理，得sinA＝3sinB．(11分)∵C＝，∴sinA＝3sin.(12分)即sinA＝－3cosA．(13分)∵cosA＝0上式不成立，即cosA≠0，∴tanA＝－3.(14分)(阅卷说明：结果正确不扣分)【抢分秘诀】17\n1．解决三角函数图象问题，主要从函数图象上的点入手，抓住函数图象上的关键点，而对于作图问题往往利用函数在一个周期内的五点确定函数图象的形状，识图问题需要利用关键点确定解析式中参数的取值，而图象的伸缩、平移变换也可以利用关键点帮助准确记忆相关规律．2．解决三角函数的最值与范围问题，要从三角函数的性质入手，常常转化为两类问题求解：一是通过化简、变换及换元转化为正弦、余弦函数的最值与范围问题求解；二是通过换元分解为基本初等函数和正弦、余弦函数的最值、三角函数的有界性和基本初等函数的单调性问题解决．3．解决三角函数的化简、求值与证明问题的基本思路是：第一，观察角与角之间的关系，注意角的变形应用，角的变换是三角函数变换的核心；第二，看函数名称之间的关系，通常是统一为正弦、余弦函数的形式；第三，观察代数式的结构特点，对于三角公式要记忆准确，应用公式要认真分析，合理转化，避免盲目性．4．解三角形或多边形问题均以三角形为载体，其解题过程的实质是将三角形中的问题转化为代数问题或方程问题，解题要从三角形的边角关系入手，依据题设条件合理设计解题程序，灵活进行边角之间的互化．【示例】►(2012·南师大附中阶段检测)如图，四棱椎PABCD的底面为矩形，且AB＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)若平面PAC⊥平面ABCD，求证：平面PAC⊥平面PDE.解题突破 (1)由E，F分别为AB，PC中点．取PD的中点M，再证四边形AEMF是平行四边形．(2)在矩形ABCD中，根据AB＝BC，可得＝，从而可证△DAE∽△CDA.再证明DE⊥AC，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC⊥平面PDE.证明 (1)法一 取线段PD的中点M，连接FM，AM.因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，17\n所以EA∥CD，且EA＝CD.所以FM∥EA，且FM＝EA.所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.(5分)又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法二 连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA，所以CE＝NE.又F为PC的中点，所以EF∥NP.(5分)又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(7分)法三 取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD.又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD.又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分)因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为AB＝BC，E为AB的中点．所以＝＝.又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA.又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°.17\n由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°.即DE⊥AC.(9分)因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，(12分)又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE.(14分)评分细则 (1)第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；(2)第二问，不用平面几何知识证明DE⊥AC，扣2分.【突破训练】(2012·南师附中统测)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝6，E是PB上任意一点．(1)求证：AC⊥DE；(2)当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB.(1)证明 连接BD，设AC与BD相交于点F.因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.(4分)又因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面PDB，E为PB上任意一点，DE⊂平面PBD，所以AC⊥DE.(7分)(2)解 连ED.由(1)知AC⊥平面PDB，EF⊂平面PBD，所以AC⊥EF.S△ACE＝AC·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB.S△ACE＝×6×EF＝9，解得EF＝3，(10分)由PB⊥EF且PB⊥AC得PB⊥平面AEC，则PB⊥EC，又由EF＝AF＝FC＝3得EC⊥AE，而PB∩AE＝E，故EC⊥平面PAB.(14分)【抢分秘诀】(1)在解答中，遵循先证明后计算的原则．注重考查立体问题平面化，面面问题，线面化再线线化的化归过程．(2)根据题目的条件画出图形，注意图形的合理性、美观性和直观性．有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往需借助图形的直观性而估算一个大概，而且有利于经过计算或论证得到的最后的结果的验证．17\n(3)要注意立体几何语言的表达方法，要简明扼要、清楚明白、符合逻辑的进行表述，要以课本上的表述为示范，尽快地掌握要领．各个命题的因果关系要明明白白，计算过程清晰明了，保证无误．重视立体几何语言的严谨性、科学性和简捷性，往往思路正确，而表述有误，因此失分真是太可惜！(4)立体几何的概念、公理、定理、计算公式等，应牢固掌握，同时尽可能多的掌握一些重要结论．因为这些知识都是学习立体几何的基本工具，它是思维浓缩的精华内容，是规律的总结，也是进行推理、论证和计算的基础．【例1】►(2012·南京高三调研)经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足u＝除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？解题突破 由u是关于v的分段函数，得y也是关于v的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法．解 (1)由题意，当0＜v≤50时，y＝7.5·u＋300·＝30·＋300·＝＋690，当v＞50时，y＝7.5·u＋300·＝30·＋300·＝＋＋600，所以y＝(8分)(2)当0＜v≤50时，y＝＋690是单调减函数，故v＝50时，y取得最小值ymin＝＋690＝3150；当v＞50时，y＝＋＋600(v＞50)由y′＝－＝＝0，得v＝100当50＜v＜100时，y′＜0，函数y＝＋＋600单调递减．所以当v＝100时，y取得最小值ymin＝＋＋600＝2400由于3150＞2400，所以当v＝100时，y取得最小值．17\n答当卡车以100km/h的速度驶时，运送这车水果的费用最少．(16分)评分细则 (1)第一问，有一段求解错误的，扣4分；(2)第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.【例2】►(2012·南通市数学学科基地密卷(一)，18)如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3.点C为OB上一点(不包含端点O、B)，同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。设细绳的总长为y.(1)设∠CA1O＝θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长．解 (1)在Rt△COA1中，CA1＝，CO＝2tanθ，(2分)y＝3CA1＋CB＝3·＋2－2tanθ＝＋2.(7分)(2)y′＝2＝2，令y′＝0，则sinθ＝，(12分)当sinθ＞时，y′＞0；sinθ＜时，y′＜0，∵y＝sinθ在上是增函数∴当角θ满足sinθ＝时，y最小，最小为4＋2；此时BC＝m．(16分)【突破训练】(2012·启东中学一模)如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中的ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得图中ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为800元/米．设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．(1)求出y关于x的函数解析式；17\n(2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建总费用y最小？并且求出y的最小值．解 (1)设AD＝t米，则由题意得xt＝600，且t＞x，故t＝＞x，可得0＜x＜10，(4分)则y＝800(3x＋2t)＝800＝2400，所以y关于x的函数解析式为y＝2400(0＜x＜10)．(8分)(2)y＝2400≥2400×2＝96000，当且仅当x＝，即x＝20时等号成立．故当x为20米时，y最小．y的最小值为96000元．(14分)解题突破 将实际问题转化为数学问题，利用基本不等式求解最值．【抢分秘诀】1．常见的应用题：(1)函数与导数模型；(2)三角函数模型；(3)函数与不等式模型；(4)数列模型．2．解决实际问题的一般步骤：(1)阅读题目，理解题意；(2)设置变量，建立函数关系；(3)应用函数知识或数学方法解决问题；(4)检验，作答．【示例】►已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A、B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切．若存在，求出点P的坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由．解题突破 (1)△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为8，确立a，b，求椭圆方程．(2)圆Q与直线PF1，PF2都相切，根据平面几何的知识，可知，PQ为∠F1PF2的角平分线，由角平分线的性质可得PF1∶PF2＝3∶1，从而求出PF1，再建立方程求P的坐标．进一步求圆的方程．解 (1)由题意设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，4a＝8，×b×2c＝4，(2分)∴∴b＝c＝2，a＝2，(4分)17\n所以，所求的椭圆方程为＋＝1.(6分)(2)假设存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切；设圆Q的半径为r，点P(x0，y0)，因为圆Q与直线PF1，PF2都相切，所以，PQ为∠F1PF2的角平分线，∴＝，∴＝，∴＝，∴PF1＝QF1，QF1＝3，∴PF1＝3，(8分)∴解得x0＝2，y0＝±；(10分)当P(2，)时，直线PF1的方程为：x－2y＋2＝0，则Q到直线PF1的距离＝＝1；(14分)所以存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1，PF2都相切，点P(2，±)，圆的方程为：(x－1)2＋y2＝1.(16分)评分细则 (1)由条件建立a，b，c关系并求其值得4分；(2)写出椭圆的方程得2分，若错则不得分；(3)求出PF1得2分；(4)求出x0＝2，y0＝±\r(2)，得2分；(5)确定P(2，\r(2))得2分，写出圆的方程得2分.【突破训练】(2012·盐城一模)已知半椭圆＋＝1(y≥0)和半圆x2＋y2＝b2(y≤0)组成曲线C，其中a＞b＞0；如图，半椭圆＋＝1(y≥0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2＋y2＝b2(y≤0)上异于A、B的任意一点，当点P位于点M时，△AGP的面积最大．(1)求曲线C的方程；(2)连PC，PD交AB分别于点E，F，求证：；AE2＋BF2为定值．解 (1)已知点M在半圆x2＋y2＝b2(y≤0)上，所以2＋2＝b2，又b＞0，所以b＝1，(2分)17\n当半圆x2＋y2＝b2(y≤0)在点P处的切线与直线AG平行时，点P到直线AG的距离最大，此时△AGP的面积取得最大值，故半圆x2＋y2＝b2(y≤0)在点M处的切线与直线AG平行，所以OM⊥AG，(3分)又kOM＝＝－，所以kAG＝＝，又b＝1，所以a＝，(4分)所以曲线C的方程为x2＋＝1(y≥0)或x2＋y2＝1(y≤0)．(6分)(2)由(1)知点C(1，)，点D(－1，)，设P(x0，y0)，则有直线PC的方程为y－＝(x－1)，(7分)令y＝0，得xE＝1－，所以AE＝2－；(9分)直线PD的方程为y－＝(x＋1)，(10分)令y＝0，得xF＝－1－，所以BF＝2＋；(12分)则AE2＋BF2＝2＋2＝＋＋8，(13分)又由x＋y＝1，得x＝1－y，代入上式得＝＋＋8＝＋8＝＋8＝4所以AE2＋BF2为定值(16分)【抢分秘诀】(1)解析几何，首先必须要保证计算正确．因为解析几何都是环环相扣的，如果数值出现错误，后面的问题就白做了，还浪费时间．(2)看到题目不要着急，仔细挑拣出已知条件，按题目深浅大致区分第一问和以后几问要用到的条件．一些问题要通过画图才能看见隐含条件(例如交点、域和一些特别的几何图形等)，继而找到思路，同时数形结合至关重要，要把平面几何知识与解析几何知识结合起来，使解题更加直观、简捷．(3)解题步骤不能太过臃肿，非得分点多写了也不加分，多出的步骤有漏洞(如符号错误等)还会扣分．但如果简略的步骤过多，一些得分步骤被你省略了，也会扣分的．(4)思路清晰，书写有条理也是得分关键．【示例】►(徐州市2011－2012学年度高三第一次质量检测20)设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝pSn＋q(p，q为常数，n∈N*)，a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p.17\n(1)求p，q的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)是否存在正整数m，n，使＜成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理由．解题突破 根据条件建立方程组求解(1)；将前n项和转化为通项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前n项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数的条件解不等式．解 (1)由题意，知即解之得(4分)(2)由(1)知，Sn＋1＝Sn＋2，①当n≥2时，Sn＝Sn－1＋2，②①－②得，an＋1＝an(n≥2)，(6分)又a2＝a1，所以an＋1＝an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为的等比数列，所以an＝.(8分)(3)由(2)得，Sn＝＝4，由＜，得＜，即＜，(10分)即＞，因为2m＋1＞0，所以2n(4－m)＞2，所以m＜4，且2＜2n(4－m)＜2m＋1＋4，(*)，因为m∈N*，所以m＝1或2或3.(12分)当m＝1时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；当m＝2时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2；当m＝3时，由(*)得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4，综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)17\n评分细则 (1)列式正确，计算错误的，扣2分.(2)没有验证“a2＝\f(1,2)a1”的，扣2分；(3)讨论不全的，少一个扣1分，直到扣完为止.【突破训练】(2012·启东中学一模)已知数列{xn}和{yn}的通项公式分别是xn＝an和yn＝(a＋1)n＋b(n∈N*)．(1)当a＝3，b＝5时，①试问x2，x4分别是数列{yn}中的第几项？②记cn＝x，若ck是数列{yn}中的第m项(k，m∈N*)，试问ck＋1是数列{yn}中的第几项？请说明理由；(2)对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1,2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{zn}；若不存在，说明理由．解 (1)由条件可得xn＝3n，yn＝4n＋5.①令x2＝9＝ym＝4m＋5，得m＝1，故x2是数列{yn}中的第1项．令x4＝81＝yk＝4k＋5，得k＝19，故x4是数列{yn}中的第19项．(2分)②由题意知，cn＝32n，由ck为数列{yn}中的第m项，则有32k＝4m＋5，那么ck＋1＝32(k＋1)＝9×32k＝9×(4m＋5)＝36m＋45＝4(9m＋10)＋5，因9m＋10∈N*，所以ck＋1是数列{yn}中的第9m＋10项．(8分)(2)设在{1,2}上存在实数b使得数列{xn}和{yn}有公共项，即存在正整数s，t使as＝(a＋1)t＋b，∴t＝，因自然数a≥2，s，t为正整数，∴as－b能被a＋1整除．①当s＝1时，t＝＜∉N*.②当s＝2n(n∈N*)时，当b＝1时，＝＝－＝－[1＋(－a)＋(－a)2＋…＋(－a)2n－1]＝(a－1)[1＋a2＋a4＋…＋a2n－2]∈N*，即as－b能被a＋1整除．此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为zn＝22n(n∈N*)．显然，当b＝2时，＝＝－∉N*，即as－b不能被a＋1整除．③当s＝2n＋1(n∈N*)时，t＝＝，17\n若a＞2，则a2n－∉N*，又a与a＋1互质，故此时t＝∉N*.若a＝2，要a2n－∈N*，则要b＝2，此时a2n－＝a2n－1，由②知，a2n－1能被a＋1整除，故t＝∈N*，即as－b能被a＋1整除．当且仅当b＝a＝2时，as－b能被a＋1整除．此时数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，通项公式为zn＝22n＋1(n∈N*)．综上所述，存在b∈{1,2}，使得数列{xn}和{yn}有公共项组成的数列{zn}，且当b＝1时，数列zn＝a2n(n∈N*)；当b＝a＝2时，数列zn＝22n＋1(n∈N*)．(16分)【抢分秘诀】1．求解数列的通项公式时，应该先根据已知条件确定数列的性质，然后通过条件的灵活变形构造或者直接转化为等差、等比数列的通项公式问题进行求解，所以要熟练掌握等差、等比数列的定义及其性质，才能简化运算过程．2．数列求和问题的关键是数列通项公式的求解，数列求和的方法取决于其通项公式的形式，基本思路是将其转化为等差、等比数列的求和问题进行求解．【示例】►(2012·南京、盐城三模)已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.(1)若a＜0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1、x2、x3∈[0,1]，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围．解题突破 利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极值情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解．解 (1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a).因为a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a.所以函数y＝f(x)的单调递减区间为.(3分)17\n(2)当a＝0时，f(x)＝x3＋2.设在点A(x1，x＋2)，B(x2，x＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)．因为y′＝3x2，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x，所以，在点A处的切线方程为y－(x＋2)＝3x(x－x1)．因为切线过点P，所以t－(x＋2)＝3x(2－x1)，即2x－6x＋(t－2)＝0.同理可得x－6x＋(t－2)＝0.(5分)两式相减得2(x－x)－6(x－x)＝0.即(x1－x2)(x＋x1x2＋x)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0.因为x1－x2≠0，所以x＋x1x2＋x－3(x1＋x2)＝0.即(x1＋x2)2－x1x2－3(x1＋x2)＝0.(7分)因为x1x2≤2，且x1≠x2，所以x1x2＜2从而上式可以化为(x1＋x2)2－2－3(x1＋x2)＜0，即(x1＋x2)(x1＋x2－4)＜0.解得0＜x1＋x2＜4，即A，B两点的横坐标之和小于4.(9分)(3)由题设知，f(0)＜f(1)＋f(1)，即2＜2(－a2＋a＋3)，解得－1＜a＜2.又因为a＞0，所以0＜a＜2.(11分)因为f′(x)＝3(x＋a)，所以当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减、当x∈，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝时，f(x)有最小值f＝－a3＋2.从而条件转化为由①得a＜；由②得a＜.再根据0＜a＜2得0＜a＜.(13分)不等式③化为a3－a2＋a－1＜0.令g(a)＝a3－a2＋a－1，则g′(a)＝a2－2a＋1＞0，所以g(a)为增函数．又g(2)＝－＜0，所以当a∈时，g(a)＜0恒成立，即③成立．所以所求a的取值范围为.(16分)17\n【突破训练】(2012·苏州调研)已知函数f(x)＝|x－m|和函数g(x)＝x|x－m|＋m2－7m.(1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m的取值范围；(2)若对任意x1∈(－∞，4]，均存在x2∈[3，＋∞)，使得f(x1)＞g(x)2成立，求实数m的取值范围．解 (1)方程f(x)＝|m|，即|x－m|＝|m|.此方程在x∈R时的解为x＝0和x＝2m.(2分)要使方程|x－m|＝|m|在x∈[－4，＋∞)上有两个不同的解．∴2m≥－4且2m≠0.则m的取值范围是m≥－2且m≠0.(5分)(2)原命题等价于：对于任意x1∈(－∞，4]，任意x2∈[3，＋∞)，f(x1)min＞g(x2)min.(7分)对于任意x1∈(－∞，4]，f(x1)min＝对于任意x2∈[3，＋∞)，g(x2)min＝(9分)①当m＜3时，0＞m2－10m＋9.(11分)∴1＜m＜3.②当3≤m≤4时，0＞m2－7m.(13分)∴3≤m≤4.③当m≥4时，m－4＞m2－7m.(15分)∴4≤m＜4＋2综上所述1＜m＜4＋2.(16分)【抢分秘诀】1．已知函数解析式求函数的单调区间，首先要考虑函数定义域，再求导数，解不等式f′(x)＞0，与定义域取交集，写出区间的形式，即为函数增区间，且单调区间不能取并集；对已知函数单调性求参数取值范围或者求解含参函数单调区间的问题，则要利用导数将其转化为导函数的符号问题，还要注意分类讨论的应用．2．基本初等函数的最值问题可以根据其性质灵活选用相应的方法求解，函数最值的应用问题多结合其它知识进行综合考查，其中不等式恒成立问题主要通过分离参数或者构造含参函数转化为相应函数的最值；函数应用问题中的最值多利用导数研究其单调性然后求最值；对于某些函数最值问题，还可以通过解析式的变形，利用基本不等式或者转化为基本函数型的最值．3．函数零点、方程的解、函数图象与x17\n轴的交点横坐标是三个含义相同的数学概念．确定函数零点所在区间主要依据零点存在性定理；函数零点的个数问题多要利用数形结合的方法，将其转化为两个函数图象的交点个数来解决；由零点的性质求解参数的取值范围问题要借助导数研究函数的单调性和极值，再利用函数图象来解决．17
