轮专题复习·数学理(苏)第二部分 洞察高考热点39题专题一 70分填空题大突破与解题技法【专题定位】江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定，共有14道，分值70分，填空题的得分多少，决定了整个试卷的成败，本专题通过对高考填空题的题型进行分类，同时穿插方法的指导，提高解题的速度和正确率．填空题没有备选项．因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足，对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些，只要求写出结果，不要求写出解答过程，不设中间分，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．【应对策略】解填空题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究解题策略，尽量避开常规解法．解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．【例1】►(2012·南通模拟)已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，则∁U(A∪B)＝________.解析 易得A∪B＝A＝{1,3,9}，则∁U(A∪B)＝{5}．答案 {5}【例2】►已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．解析 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，故满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即为集合{3,4}的子集个数22＝4(个)．答案 4解题方法技巧：直接求解法直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的一种解题方法．它是解填空题常用的基本方法，使用直接法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法．27\n【突破训练1】若A＝{x∈R||x|＜3}，B＝{x∈R|2x＞1}，则A∩B＝________.解析 因为A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|x＞0}，所以A∩B＝{x|0＜x＜3}．答案 {x|0＜x＜3}【例3】►设集合A＝{(x，y)}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是________．解析 画出椭圆＋＝1和指数函数y＝3x图象，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则A∩B的子集应为∅，{A1}，{A2}，{A1，A2}共四种．答案 4【例4】►A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．解析 由|x－a|＜1得－1＜x－a＜1，即a－1＜x＜a＋1.如图，要使A∩B＝∅成立，由图可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.答案 a≤0或a≥6解题方法技巧：数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．数形结合，能使抽象的数学问题转化成直观的图形，使抽象思维和形象思维结合起来．这种思想是近年来高考的热点之一，也是解答数学填空题的一种重要策略．【突破训练2】已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为________．解析 集合A表示由圆x2＋y2＝1上所有点组成的集合，集合B表示直线x＋y＝1上所有点的集合，∵直线过圆内点，∴直线与圆有两个交点，即A∩B的元素个数为2.答案 2【突破训练3】设集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay＋2a＝0}，若A∩B＝∅，则实数a的值为________．解析 由A，B集合的几何意义可知，A，B集合表示的是两条直线，A∩B＝∅，则两直线平行，故＝≠，解得a＝－1，又经检验a＝0时也满足题意．答案 0或－127\n【示例】►(2012·南京、盐城模拟)已知复数z满足(2－i)z＝5i(其中i为虚数单位)，则复数z的模是________．解析 |(2－i)z|＝|5i|，即|z|＝5，解得|z|＝.答案 【突破训练】如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于________．解析 ＝＝，由题意得2－2b＝b＋4，解得b＝－.答案 b＝－【示例】►某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图)，则总成绩在[400,500)内共有________人．解析 由频率分布直方图可求得a＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4500(人)．答案 4500解题方法技巧：图表法先识别图表类型，然后借助图表提供的信息进行解题的一种方法，本例中的图表应注意以下几点：(1)样本的频率分布直方图中，小长方形的面积之和为1.(2)要注意纵轴数据是：频率/组距．(3)小矩形的面积就是表示相应各组的频率．27\n【突破训练】某个容量为N的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N＝________.解析 组距为1，在区间[4,5)上频率为1－0.4－0.15－0.10－0.05＝0.3，在区间[4,5)上频数为60，则＝0.3⇒N＝200.答案 200【例1】►(2012·南京、盐城模拟)若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m，n，则方程x2＋2mx＋n＝0无实数根的概率是________．解析 共有36种等可能基本事件，其中要求方程x2＋2mx＋n＝0无实根，即m2＜n的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7个基本事件，因此所求概率为.答案 命题趋势：古典概型和几何概型是填空题考查的重点，在知识网络交汇处设计试题是高考命题的新特点和大方向，如将概率问题与函数、方程、数列、不等式及几何等问题交叉渗透，考查学生处理信息的能力和综合运用数学知识分析、解决问题的能力.【突破训练1】(2012·南通模拟)豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的(只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显示矮茎)，则第二子代为高茎的概率为________．【突破训练1】解析 第二子代的一对基因的所有等可能情形为DD，Dd，dD，dd，其中高茎的有DD，Dd，dD共3种，则所求概率为.答案 【例2】►已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x27\n－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________．解析 分别画出两个集合表示的区域如图可知SΩ＝×6×6＝18，SA＝×4×2＝4，由几何概型概率计算可得P＝＝＝.答案 解题方法技巧：图形法,图形法解题是解决几何概型问题的一种常见方法，根据条件画出所求事件所满足的图形，然后利用几何概型中，事件的概率计算公式求解.通常是构成事件A的区域长度(面积、体积)与试验的全部结果所构成的区域长度(面积、体积)的比.【突破训练2】已知平面区域Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，M＝{(x，y)|x≥0，y≥0，x＋y≤1}，若在区域Ω上随机投一点P，则点P落在区域M内的概率为________．【突破训练2】解析 满足约束条件x＋y≤1，x≥0，y≥0的区域为△ABO内部(含边界)，与单位圆x2＋y2＝1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在区域M内的概率为P＝＝.答案 27\n【示例】►(2012·南京、盐城模拟)根据如图所示的流程图，若输入x的值为－7.5，则输出y的值为________．解析 当x＝－7.5时，运行一次，x＝－5.5，继续循环，直到x＝0.5时跳出循环，此时y＝－1.答案 －1命题趋势：算法是新课标的新增内容，已成为高考考查的热点，考查侧重于对变量赋值的理解，对循环结构的运用，阅读流程图，说明算理与算法.由于算法与其它知识之间有较强的联系，所以算法与知识的结合是高考的热点，同时也体现了算法的工具性.【突破训练】(2012·南通模拟)如图，Ni表示第i个学生的学号，Gi表示第i个学生的成绩，已知学号在1～10的学生的成绩依次为401,392,385,359,372,327,354,361,345,337，则打印出的第5组数据是________．解析 打印出的第5组数据是学号为8号，且成绩为361，故结果是8,361.答案 8,36127\n【示例】►对于△ABC，有如下四个命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinB＝cosA，则△ABC是直角三角形；③若sin2A＋sin2B＞sin2C，则△ABC是钝角三角形；④若＝＝，则△ABC是等边三角形．其中正确的命题个数是________．解析 ①不对，可能2A＋2B＝π；②不对，如B＝120°，A＝30°；③不对，仅能说明C为锐角；④对，由正弦定理可得sin＝sin＝sin，即A＝B＝C.答案 1解题方法技巧：特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数、或特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．【突破训练】有四个关于三角函数的命题：p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝；p2：∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：∀x∈[0，π],＝sinx；p4：sinx＝cosy⇒x＋y＝.其中假命题的是________．解析 p1：∃x∈R，sin2＋cos2＝是假命题；p2是真命题，如x＝y＝0时成立；p3是真命题，∵∀x∈[0，π]，sinx≥0，∴＝＝|sinx|＝sinx；p4是假命题，如x＝，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠.答案 p1，p4【示例】►(2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，“直线y＝x＋b，b∈R与曲线x＝相切”的充要条件是“________”．27\n解析 易得＝1，且b＜0，即b＝－.答案 b＝－解题方法技巧：分析推理法要理解必要不充分条件、充分不必要、充分必要条件的意义，准确判断命题之间的相互关系．如果p⇒q，p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果p⇒q且q⇒/p，p是q的充分而不必要条件；如果p⇒/q且q⇒p，p是q的必要而不充分条件，如果p⇔q，p是q的充分必要条件．【突破训练】已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的______条件．解析 a＞2可以推出a2＞2a；a2＞2a可以推出a＞2或a＜0不一定推出a＞2.所以“a＞2”是“a2＞2a”的充分不必要条件．答案 充分不必要【例1】►(2012·南通模拟)设正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为________．解析 法一 设正四棱锥的底面边长为x，则体积V＝x2＝，记y＝t2(2－t)，t＞0，利用导数可求得当t＝时，ymax＝，此时Vmax＝；法二 设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ，则V＝×2cos2θ×sinθ＝(1－sin2θ)×sinθ，0＜θ＜，记y＝(1－t2)t,0＜t＜1，利用导数可求得当t＝时，ymax＝，此时Vmax＝.答案 【例2】►有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是________．解析 如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC的底边BC27\n即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得BC＝＝a.答案 a解题方法技巧：图形分析、直接计算法,(1)通过分析图形元素之间的数量关系，建立数学模型，求出计算面积或体积所需要的相关要素.,(2)利用平面展开图求空间几何体的面积是常用方法.,(3)等体积法是处理体积问题的常用方法.【突破训练】(2012·南通模拟)某圆锥的侧面展开图是半径为1cm的半圆，则该圆锥的体积是________cm3.解析 设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则由2πr＝π得r＝，h＝＝，所以该圆锥体积V＝π×2×＝；答案 【示例】►若cosαcos(α＋β)＋sinαsin(α＋β)＝－，β是第二象限的角，则tan2β＝________.解析 ∵cosαcos(α＋β)＋sinαsin(α＋β)＝cos(α＋β－α)＝cosβ＝－，且β是第二象限的角，∴sinβ＝，tanβ＝－，所以tan2β＝＝.答案 命题趋势：两角和与差的正弦、余弦和正切在高考中要求为C级，故这部分内容及与其相关的内容要予以高度重视，它们将是今后高考命题的热点.【突破训练】若sin＝，则sin＝________.解析 ∵＋＝，∴sin＝sin＝－cos＝±.答案 ±27\n【示例】►如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，≤φ≤π)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为3，那么f(－1)＝________.解析 由函数图象求解析式，再求函数值．由A，B两点之间的距离为3得＝3⇒T＝6＝⇒ω＝，又f(0)＝2sinφ＝1，且≤φ≤π，所以φ＝π，所以f(x)＝2sin，故f(－1)＝2sin＝2sin＝2.答案 2解题方法技巧：由图象挖掘性质三角函数的图象与性质具有密不可分的关系，如振幅A、最大值、最小值、周期、单调性、奇偶性、对称性等重要性质都在图象上有所反映，要充分利用图象研究三角函数性质．【突破训练】若函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离是，则实数ω的值是________．解析 由f(x)＝sin的相邻两个对称中心间的距离是，得函数周期为3，故＝3，解得ω＝.答案 【示例】►在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，或a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝________.解析 由sinC＝2sinB及正弦定理得c＝2b，代入a2－b2＝bc得a2－b2＝b·2b＝6b2，即a2＝7b2，又c2＝12b2，27\n由余弦定理cosA＝＝＝＝，又A∈(0°，180°)，所以A＝30°.答案 30°命题趋势：解三角形时考题灵活多样，要熟练运用已知条件，根据正、余弦定理，列出方程进而求解，最后还要检验是否符合题意.【突破训练】在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为________．解析 在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－，所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°；在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得＝，所以AB＝＝＝＝5.答案 5【例1】►函数f(x)＝－2sin2πx，x∈[－1,2]所有的零点之和等于________．解析 作出两个函数的图象如图，由图象可知，函数y＝与y＝2sin2πx，x∈[－1,2]的图象有8个交点，两两关于点A对称，所以每两个对称点的横坐标之和为1，故所有交点的横坐标之和为1×4＝4.答案 427\n解题方法技巧：数形结合在函数零点中的应用方程根的个数的判断、已知方程根的个数，确定参数的取值范围，或者利用二分法确定函数的零点所在的区间都可能成为考点，尤其是利用数形结合解决与方程根的个数有关的问题更加是重要考点，要正确应用数形结合将函数零点、方程的根、图象交点横坐标三者之间相互转化．【突破训练1】若函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数F(x)＝f(x)－|log4x|的零点个数为________．解析 根据条件作出函数f(x)，y＝|log4x|，x＞0的图象，由两个函数图象的交点个数确定函数零点个数．因为f(x＋1)＝f(x－1)，所以函数，f(x)的周期为2，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，在同一坐标系中作出函数f(x)，y＝|log4x|，x＞0的图象如图，由图象可知，交点个数是4，即F(x)的零点个数为4.答案 4【例2】►已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．解析 画出函数图象，利用数形结合的方法求解．若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，即函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象有两个不同的交点，由图象可知a＜1.答案 (－∞，1)命题趋势：对分段函数的考查正逐步成为热点，讨论分段函数的零点也成为趋势，主要考查应用数形结合的方法确定方程根的个数、参数的取值范围等.在高考中的题型是填空题，难度可以中档题或难题要求对基本函数的图象熟练掌握.【突破训练2】函数f(x)＝的零点个数是________．解析 根据条件分x＞0和x≤0分别求零点．当x≤0时，函数f(x)有1个零点－；作出函数y＝lnx，y＝x2－2x，x＞0的图象，可知两个函数图象有2个交点，即x＞0时函数f(x)有2个零点，故函数f(x)有3个零点．答案 327\n【例1】►(2012·苏州调研)已知函数f(x)＝(a，b，c∈R，a＞0)是奇函数，若f(x)的最小值为－，且f(1)＞，则b的取值范围是________．解析 由函数f(x)＝(a，b，c∈R，a＞0)是奇函数得c＝0，所以f(x)＝(a＞0)，当x＜0时，f(x)＝≥(a＞0)，所以f(x)的最小值为＝－⇒a＝b2，所以f(1)＝＞⇒2b2－5b＋2＜0⇒＜b＜2.答案 ＜b＜2命题趋势1：新颖的具体函数的性质,由基本初等函数构成的一些新颖函数的性质是函数性质的命题趋势之一，解题方法是根据函数的概念、性质等建立不等式或方程求解，很多时候画出函数图象可以帮助直观解题.【突破训练1】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，且f(2)＝0，则不等式≤0的解集为________．解析 由奇函数的定义化简解析式，再利用分类讨论的方法解不等式．因为函数f(x)是奇函数，所以＝＝≤0，⇔或又奇函数f(x)在(0，＋∞)上递减，f(2)＝0，所以在(－∞，0)上递减，f(－2)＝0，作出函数f(x)的大致示意图可得原不等式的解集为[－2,0)∪(0,2]．答案 [－2,0)∪(0,2]【例2】►定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是偶函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x＝1对称；③f(x)是[0,1]上的增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．以上命题中正确的是________．(写出所有正确命题的编号)解析 由f(x＋1)＝－f(x)＝f(x－1)，得函数f(x)是周期为2的周期函数，故①正确；因为f(2－x)＝f(1＋1－x)＝－f(1－x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)关于x＝1对称，故②正确；因为f(x)是偶函数，且[－1,0]递增，周期是2，所以在[0,1]上递减，在[1,2]上递增，故③④均错误，⑤正确，故正确的是①②⑤.答案 ①②⑤命题趋势2：抽象函数性质的考查,27\n没有提供解析式的函数通常称为抽象函数，这类函数的性质一般比较抽象，对能力要求较高，需要对函数性质有比较清楚的理解，可以借助函数图象直观解题.【突破训练2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上递增，记a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．解析 由条件可得f(x＋1)＝－f(x)＝f(x－1)，所以函数f(x)周期为2，b＝f(2)＝f(0)，c＝f(3)＝f(1)，而函数f(x)在[0,1]上递增，所以f(0)＜f＜f(1)，即c＞a＞b.答案 c＞a＞b【示例】►已知函数f(x)＝在区间(0,1]上是单调递减函数，则实数a的取值范围是________．解析 a＞1时a－1＞0,3－ax递减，∴f(x)递减，由3－ax＞0在(0,1]内恒成立得＞1∴1＜a＜3；0＜a＜1时a－1＜0，3－ax递减，∴f(x)递增，不合题意；a＜0时，a－1＜0,3－ax递增，∴f(x)递减，此时3－ax＞0在(0,1]内恒成立；a＝0或a＝1时均不合题意，故a的取值范围是a＜0或1＜a＜3.答案 (－∞，0)∪(1,3)命题趋势：指数、指数函数与对数、对数函数在高考中都是B级要求，主要考查指数函数、对数函数的概念、性质，试题难度中等偏下.【突破训练】已知定义在[1，＋∞)上的函数f(x)＝给出下列结论：①函数f(x)的值域为[0,4]；②关于x的方程f(x)＝n(n∈N*)有2n＋4个不相等的实数根；③当x∈[2n－1,2n](n∈N＋)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝2；④存在x0∈[1,8]，使得不等式x0f(x0)＞6成立；其中正确结论的序号有________．解析 由题意画出函数f(x)的部分图象如图，由图象可知，函数f(x)的值域为[0,4]，故①正确；当n＝1时，关于x的方程f(x)＝有7个不相等的实数根，故②错误；当x∈[2n－1,2n](n∈N＋)时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形是三角形，高为23－n，所以面积S＝×2n－1×23－n＝2，故③正确；由图象可知不等式f(x)＞在[1,8]上无解，故④错误．27\n答案 ①③【示例】►设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3…x2012的值为________．解析 先求出切线方程，令y＝0，得xn，再求乘积．因为y′＝(n＋1)xn，所以在点(1,1)处的切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·x3…x2012＝×××…×＝.答案 命题趋势：导数的几何意义与其它知识的综合,导数的运算与其它知识的综合是常见考题，可以将导数的几何意义与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合，考查等价转化、函数与方程、分离参数等数学思想方法.【突破训练】已知M是曲线y＝lnx＋x2＋(1－a)x上任意一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角是均不小于的锐角，则实数a的取值范围是________．解析 设M(x，y)(x＞0)，因为在M点处切线的倾斜角的范围是，所以切线的斜率是[1，＋∞)，即y′＝＋x＋1－a≥1，x∈(0，＋∞)恒成立，分离参数得a≤＋x，x∈(0，＋∞)恒成立，所以a≤min，x∈(0，＋∞)时，由基本不等式得＋x≥2，所以a≤2.答案 (－∞，2]【示例】►设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析 利用导数将问题转化为导函数在(0，＋∞)有零点，再利用分离参数的方法求解．由条件可得y′＝ex＋a＝0在(0，＋∞)有解，所以a＝－ex＜－1.答案 (－∞，－1)解题方法技巧：分离参数法,27\n导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用，函数有极值点等价转化为导函数等于0有解，而不等式恒成立又是通过分离参数转化为函数最值，体现了导数的工具作用.【突破训练】设函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．解析 由题意可知f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不等实根，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.答案 (－∞，－3)∪(6，＋∞)【示例】►已知f(x)＝若|f(x)|≥ax在x∈[－1,1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析 当x∈[－1,0]时，|f(x)|＝2－x2≥ax，所以a≥max＝－1；当x∈(0,1]时，|f(x)|＝|3x－2|≥ax恒成立，作出图象即可得a≤0，所以对x∈[－1,1]上恒成立时，实数a的取值范围是[－1,0]．答案 [－1,0]命题趋势：分段函数与不等式,分段函数是函数的热点问题，将分段函数与解不等式、不等式恒成立等综合又是最新命题点，需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式问题，注意何时取交集、并集.【突破训练】设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________．解析 当x≤1时，解21－x≤2得0≤x≤1，当x＞1时，解1－log2x≤2得x≥，得x＞1，因此，满足f(x)≤2的x的取值范围是x≥0.答案 [0，＋∞)【示例】►已知函数y＝a2x－4＋1(a＞0，a≠1)的图象过定点A，且点A在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，则m＋n的最小值为________．解析 因为函数y＝a2x－4＋1恒过点(2,2)，所以(2,2)在直线＋＝1(m＞0，n＞0)上，所以＋＝1(m＞0，n＞0)，故(m＋n)＝4＋＋≥8，当且仅当＝，即m＝n＝4时，m＋n取得最小值8.答案 8解题方法技巧：构造法,27\n分析已知与所求之间的关系，利用“1”的代换构造基本不等式使用的条件，进而利用基本不等式求最值.【突破训练】设x，y为实数，若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．解析 由于1＝4x2＋y2＋xy≥2×2xy＋xy＝5xy，即xy≤，当且仅当2x＝y＝时xy取得最大值，此时2x＋y也取得最大值＋＝.答案 【例1】►(2012·扬州期末检测)已知x，y满足不等式组则2x－y的最小值为________．解析 作出不等式组对应的平面区域如图，将斜率为2的直线平移，当经过点(0,0)时，目标函数取得最小值0.答案 0【例2】►设实数x，y满足则u＝的取值范围是________．解析 不等式组对应的可行域如图，u＝1＋，过图中点(3,1)时，umin＝1＋＝，过图中点(1,2)时，umax＝1＋2＝3，故u的取值范围是.答案 命题趋势：线性规划与其它知识的综合,将线性规划与函数、导数、不等式等知识的综合，为线性规划的考查注入了新的活力，成为又一知识交汇点，需要根据相关知识逐个突破.同时，在约束条件或者目标函数中含有参数，也是线性规划的一个热点.【突破训练】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈(－1,0)，x2∈(0,1)，则的取值范围是________．27\n解析 由条件可得f′(x)＝x2＋ax＋b＝0的一个实根在(－1,0)，一个实根在(0,1)上，所以对应的可行域如图中三角形区域(不含边界)，目标函数即为＝1＋2×，其中的几何意义是可行域上的点(a，b)与点(－2，－1)的连线的斜率，由图可知∈(0,1)，故∈(1,3)．答案 (1,3)【例1】►如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，＝，＝2，则·＝________.解析 利用向量的线性运算、数量积运算的定义求解．因为＝＋，＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝·＝＋×＝.答案 【例2】►已知＝(－4,2)，C(2，a)，D(b,4)是平面上的两个点，O为坐标原点，若∥，且⊥，则＝________.解析 利用向量平行、垂直的条件建立方程解出a，b，再求.因为∥⇔2×2－(－4a)＝0⇔a＝－1，⊥⇔－4b＋2×4＝0⇔b＝2，所以C(2，－1)，D(2,4)，故＝(0,5)．答案 (0,5)命题趋势：平面向量的数量积在高考中的要求为C级.目前，小题大多考查平面向量的基础知识，如2011，2012年都是有关平面向量数量积的运算问题.27\n【突破训练】如图，在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P为CD的中点，则·的值为________．解析 建立坐标系，应用坐标运算求数量积．以点A为坐标原点，AD、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以·＝(－3，－2)·(－3,2)＝5.答案 5【示例】►现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析 该题简单考查平面到空间的类比推理以及空间想象能力，由平面到空间类比面积如果为平方一般体积即为对应的立方，因此，应该填.答案 解题方法技巧：类比推理法合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式，这种推理在由部分得到整体时27\n要符合问题的发展规律，得到的整体结论不但要涵盖已知的部分的结论，而且符合部分结论的自然推广；类比推理是由此及彼的推理模式，这种推理模式是由彼此类似的两类事物，其中一种事物具有某些性质，从而得到另一种事物也具有一些性质，这种推理得到的结论也应该合乎“情理”．解决合情推理问题要重视这个“合情性”的要求，并借助于演绎推理对得到的结论进行一般性的证明．【突破训练】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为________．解析 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由＝，类比得＝.答案 ＝【例1】►(2012·苏北四市质量检测)已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，且是整数，则n的值为________．解析 由题意可知Sn＝kn(7n＋45)，Tn＝kn(n＋3)，所以an＝Sn－Sn－1＝kn(7n＋45)－k(n－1)(7n＋38)＝14n＋38，b2n＝T2n－T2n－1＝2kn(2n＋3)－k(2n－1)(2n＋2)＝4n＋2，所以＝＝＋×∈Z，所以2n＋1＝31，解得n＝15.答案 15命题趋势1：等差、等比数列基本量的计算,填空题经常考查等差、等比数列的通项公式、前n项求和、性质等重要内容，考查运算求解的能力，合理应用等差、等比数列的性质可以简化运算，所以性质的灵活应用是等差、等比数列的重要考点.【突破训练1】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，则数列前n项和最大时，n＝________.解析 因为S17＝S9⇒S17－S9＝a10＋a11＋…＋a17＝4(a13＋a14)＝0，又a1＝25＞0，所以a13＝－a14＞0，即该数列前13项是正数，从第14项开始为负数，所以前13项的和最大．27\n答案 13【例2】►(2012·徐州质量检测)在等比数列{an}中，已知a1＋a2＝，a3＋a4＝1，则a7＋a8＋a9＋a10的值为________．解析 等比数列{an}相邻两项的和构成为首项，2为公比的等比数列，所以a7＋a8＋a9＋a10＝×(23＋24)＝4＋8＝12.答案 12【突破训练2】(2012·常州期末)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝3，a＝4a3a7，则数列{an}的通项公式为________．解析 a＝4a3a7＝4a，又an＞0，所以a4＝2a5⇒q＝＝，所以a1＋2a2＝a1＋a1＝3⇒a1＝，所以an＝×n－1＝.答案 an＝【例3】►等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－an)，则f′(0)的值是________．解析 由条件得f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.答案 212【例4】►等差数列{an}的公差d∈(0,1)，且＝－1，当n＝10时，数列{an}的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围为________．解析 因为{an}是等差数列，所以＝＝＝－sin4d＝－1，得d＝＋，k∈Z，又d∈(0,1)，所以k＝0，即d＝.又由S10是{Sn}中的最小项，所以解得－π≤a1≤－π.答案 命题趋势2：等差、等比数列与其他知识的综合应用,27\n填空题中等差数列、等比数列还经常在数列内部，或者与函数、导数、不等式、恒等式、三角恒等变换等知识综合，构成中高档题，这类题的训练为数列解答题的求解积累方法和技巧.【突破训练3】下表给出一个“直角三角形数阵”，，，……满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N＋)，则a83等于________．解析 由条件得a81＝＋7×＝2，又从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，都为，所以a83＝a812＝2×＝.答案 【例1】►若{an}满足a1＝1，an＋an＋1＝n(n∈N*)，设Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an，则5S2－42a2＝________；类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5Sn－4nan＝________.解析 由条件可得5S2－42a2＝5(a1＋4a2)－42a2＝a1＋4(a1＋a2)＝1＋4×＝2.在Sn＝a1＋4a2＋42a3＋…＋an－1an，①，两边同时乘以4得4Sn＝4a1＋42a2＋43a3＋…＋4n－1an－1＋4nan，②，①＋②得5Sn＝a1＋4(a1＋a2)＋42(a2＋a3)＋…＋4n－1(an－1＋an)＋4nan＝1＋n－1＋4nan，故5Sn－4nan＝n.答案 2 n【例2】►数列{an}满足a1＝1，＝2，＝3(k≥1，k∈N*)，则a3＋a4＝________，其前n项和Sn＝________.解析 由条件分别求出a3，a4，再求和，利用分组求和法求Sn.由条件可得a2＝2，a3＝6，a4＝12，所以a3＋a4＝6＋12＝18.因为数列{an27\n}相邻两项的和构成以6为公比的等比数列，所以当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)＝3＋18＋…＋3×6－1＝＝；当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝3＋8＋48…＋8×6－1＝1＋＝1＋＝，故Sn＝答案 18 解题方法技巧：类比法的应用,一般数列的通项与求和方法是类比等差数列、等比数列的通项公式、求和公式的推导，如等差数列通项公式的推导方法是累加法，类比到an＋1－an＝f(n)，都可以用累加法，其它如累乘法、数列的错位相减法、裂项相消法等，也是由课本中一些基本的知识、方法类比得到，所以理解课本决不能流于形式，这个过程真的很重要.【突破训练1】在数列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n，n∈N*，则a8的值为________．解析 根据累加法求a8.由题意可得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，a8－a7＝8，累加得a8－a1＝2＋3＋4＋…＋8＝＝35，所以a8＝36.答案 36【突破训练2】定义：F(x，y)＝yx(x＞0，y＞0)，设数列{an}满足an＝，设Sn为数列的前n项和，则Sn________1(填“＞”、“＝”、“＜”)．解析 由题意可得an＝，所以＝＝－，其前n项和Sn＝＋＋…＋＝1－＜1.答案 ＜【示例】►(2012·苏锡常镇调研)将函数y＝－(x∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．解析 作出函数y＝－(x∈[0,2])的图象(圆(x－1)2＋(y＋)2＝4的一部分，落在x轴及其上方)考虑圆(x－1)2＋(y＋)2＝4在点(0,0)处的切线y＝kx，由＝2⇒k＝，θ27\n的最大值为切线y＝kx逆时针旋转到与y轴重合时所转过的角，∴θ的最大值为.答案 解题方法技巧：数形结合,对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.【突破训练】直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是________．【突破训练】解析 y＝x＋b是斜率为1的直线，曲线x＝是以原点为圆心，1为半径的圆的右半圆，画出他们的图象如右图，由图可以看出：两种情况两个曲线有且仅有一个公共点，当b＝－时相切，当－1＜b≤1时，相交且有唯一公共点．答案 (－1,1]∪{－}【例1】►已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．解析 如图，A、F分别为顶点、焦点，则＝，即＝＝3.答案 3【例2】►设F1F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．27\n解析 因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有|F2F1|＝|F2P|，因为∠PF1F2＝30°，所以∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°，所以|F2D|＝|PF2|＝|F1F2|，即－c＝×2c＝c，所以＝2c，即＝，所以椭圆的离心率为e＝.答案 命题趋势：虽然新课标对圆锥曲线的要求降低了，但是还要引起足够的重视，特别是对圆锥曲线的定义和几何性质、应用加以重视，三大圆锥曲线在高考中的要求分别为：椭圆为B级要求，双曲线和抛物线为A级要求．【突破训练】已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是________．解析 点A在抛物线外部，则a＜2×32＝18，设过点A的抛物线的切线方程为y＝kx－2，代入抛物线方程得2x2－kx＋2＝0，由Δ＝k2－16＝0，得k＝±4，结合图形取k＝4，即要求AB连线的斜率小于4，即＜4，解得a＜10.答案 (－∞，10)【例1】►若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝则f(x)的“友好点对”有________个．解析 根据题意：“友好点对”，可知，只需作出函数y＝2x2＋4x＋1(x＜0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是2.即f(x)的“友好点对”有2个．答案 227\n【例2】►设函数f(x)的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使＝C(C为常数)成立，则称函数f(x)在D上均值为C，下列五个函数：①y＝4sinx；②y＝x3；③y＝lgx；④y＝2x；⑤y＝2x－1.则满足其定义域上均值为2的所有函数的序号是________．解析 对于①，若＝2，则sinx1＋sinx2＝1，因为x2不唯一，①不合题意；对于②，若＝2，则x2＝是唯一的，②符合题意；对于③，若＝2，则x2＝是唯一的，③符合题意；对于④，若＝2,2x1＋2x2＝4，则x2可能不存在，④不合题意；对于⑤，若＝2，则x2＝3－x1是唯一的，⑤符合．故填②③⑤.答案 ②③⑤解题方法技巧：巧妙应用新定义型填空题,新定义型填空题，是指新定义一个数学问题(新概念、新公式、新定理、新法则、新运算)并给出了以定义的新概念或新性质或新运算所满足的条件，要求应用所学的数学知识和方法迁移到这段材料中，从而使问题得到解决的一类题.解新定义型填空题，要仔细阅读分析所给材料，捕捉相关信息，紧扣定义，围绕定义与条件，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理发现解题方法.做此类题型的前提：认真阅读、审题，紧扣新信息的意义，把定义问题“翻译”成熟悉的情境，化抽象为直观，化难为易.【突破训练1】定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．解析 当x＝0时，z＝0，当x＝1，y＝2时，z＝6，当x＝1，y＝3时，z＝12，故所有元素之和为18.答案 18【突破训练2】在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.则函数f(x)＝(1⊕x)·x－(2⊕x)(x∈[－2,2])的最大值等于________．(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)解析 由定义知，f(x)＝f(x)在区间[－2,2]上单调递增，所以f(x)的最大值为6.答案 627\n27
