专题三 40分附加题大突破与抢分秘诀【专题定位】高考中主要考查曲线在矩阵变换下的曲线方程，求二阶矩阵的逆矩阵及二阶矩阵的特征值和特征向量等．如：考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序．熟记几种常见变换，对应点间坐标关系；考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法；考查矩阵的特征值与特征向量的应用等．附加题部分由解答题组成，共6题．其中，必做题2题，考查选修系列2(不含选修系列1)中的内容；选做题共4题，依次考查选修系列4中4－1、4－2、4－4、4－5这4个专题的内容，考生从中选2题作答．附加题部分由容易题、中等题和难题组成．容易题、中等题和难题在试卷中所占分值的比例大致为5∶4∶1.【应对策略】根据《考试说明》提出的要求，控制问题的难度，在本单元的复习中，应该注意突出以下几个方面：1．回归课本，抓好基础知识的落实，高考题“源于课本”，在复习中必须重视对课本中的基础知识、基本方法和基本数学思想的复习，关注课本中的一些重点内容．2．加强训练，提高推理和运算能力，在复习过程中一定要注意加强训练，重视推理论证和运算能力的培养，学会主动地寻求合理、简捷的运算途径，努力提高解题的正确性和有效性．【示例】►如图，AT为单位圆O的切线，过切点T引OA的垂线TH，H为垂足．求证：AO·OH为定值．解题突破 由AT为单位圆O的切线，得∠ATH＝∠TOH，由TH⊥OA，得∠OTH＝∠OAT，从而△ATO∽△THO，因此得到＝所以AO·OH为定值．证明 因为AT为圆O的切线，TH为OA的垂线，所以∠ATH＝∠TOH，∠ATO＝∠THO，(3分)故直角三角形ATO相似于直角三角形THO，(6分)12\n则＝，即AO·OH＝OT2＝1，即证．(10分)评分细则 (1)得到∠ATH＝∠TOH给3分，如果错误则本题基本不得分，(2)没有＝，扣3分.【突破训练】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．解 如图，连接OC，因为OA＝OB，CA＝CB，所以OC⊥AB.因为OC是圆的半径，所以AB是圆的切线．(2分)因为ED是直径，所以∠ECD＝90°，所以∠E＋∠EDC＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，所以∠BCD＝∠E，又因为∠CBD＝∠EBC，所以△BCD∽△BEC，所以＝⇒BC2＝BD·BE，(5分)因为tan∠CED＝＝，△BCD∽△BEC，所以＝＝.(7分)设BD＝x，则BC＝2x，因为BC2＝BD·BE，所以(2x)2＝x(x＋6)，所以BD＝2.(9分)所以OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.(10分)【抢分秘诀】(1)平面几何解题时要重视数学语言表达、数学解题格式的规范性．(2)由图形或定理能推到的一些结论要尽可能的表达出来．12\n【示例】►设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．解题突破 可先求出MN，再求曲线在MN变换下的曲线方程．解 MN＝＝，(3分)设(x，y)是曲线y＝sinx上的任意一点，在MN变换下对应的点为(x′，y′)．则＝(5分)所以即(8分)代入y＝sinx得：y′＝sin2x′，即y′＝2sin2x′.即曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y＝2sin2x.(10分)评分细则 (1)正确求出MN得3分.如果不正确本题不给分.(2)正确表示得8分.(3)没有正确表示y＝2sin2x，扣1分.【突破训练】已知二阶矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A.解 设A＝，由＝，得(5分)再由＝3＝，得∴∴A＝.(10分)【抢分秘诀】(1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序．(2)记住求逆矩阵的过程．(3)在求矩阵变换的特征值与特征向量时，可用定义建立关系．【示例】►(2012·如皋质量检测)在极坐标系中，A为曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0上的动点，B为直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0上的动点，求AB的最小值．解题突破 曲线ρ2＋2ρcosθ－3＝0的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4，直线ρcosθ＋ρsinθ－7＝0先化为直角坐标方程x＋y12\n－7＝0，问题变为求圆上的点到直线上点的距离的最小值．解 圆方程为(x＋1)2＋y2＝4，圆心(－1,0)，直线方程为x＋y－7＝0，(5分)圆心到直线的距离d＝＝4，所以(AB)min＝4－2.(10分)【突破训练】在极坐标系中，点O(0,0)，B.(1)求以OB为直径的圆C的直角坐标方程；(2)若直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝4，判断直线l与圆C的位置关系．解 (1)设P(ρ，θ)是所求圆上的任意一点，因为OB为直径，所以∠OPB＝90°，则OP＝OBcos，即ρ＝2cos，(3分)即x2＋y2－2x－2y＝0，故所求的圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.(5分)(2)圆C的圆心的坐标为(1,1)，半径为，直线l的直角坐标方程为x＋y＝4，(7分)因为圆心到直线l的距离d＝＝，所以直线l与圆C相切．(10分)【抢分秘诀】(1)把极坐标方程转化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程，可得相应的分数．(2)求解过程要干净利落，条理分明，计算准确．【示例】►设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求证：＋＋≥9.解题突破 利用基本不等式证明．证明 因为a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝1＞0，所以＋＋＝(a1＋a2＋a3)≥3(a1a2a3)·3＝9，(8分)当且仅当a1＝a2＝a3＝时等号成立，12\n所以＋＋≥9.(10分)【突破训练】已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值．解 ∵(12＋12＋12)(a2＋b2＋c2)≥(1·a＋1·b＋1·c)＝a＋b＋c＝1.(5分)∴a2＋b2＋c2≥，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．mmin＝.(10分)【抢分秘诀】(1)利用平均值不等式、柯西定理时要找准“对应点”，使其符合特征，使问题的解决清晰明了，可得一定的分数．(2)注意对而不全，应用绝对值不等式的性质求函数的最值时，注意等号成立的条件．(3)在证明不等式时，要注意推理的逻辑性．【示例】►如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，(1)求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解题突破 (1)先求出平面MBC的法向量，再利用公式求距离．(2)通过求平面ACM与平面BCD的法向量所成的角，求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．解 取CD中点O，连OB，OM，由于△BCD与△MCD都是正三角形，则OB⊥CD，OM⊥CD12\n，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD.以O为原点，直线OC、BO、OM所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图．OB＝OM＝，则各点坐标分别为O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，(2分)(1)设n＝(x，y，z)是平面MBC的法向量，则＝(1,，0)，＝(0，，)，由n⊥得x＋y＝0；由n⊥得y＋z＝0；取n＝(，－1,1)，＝(0,0,2)，(3分)则距离d＝＝.(5分)(2)＝(－1,0，)，＝(－1，－，2)．设平面ACM的法向量为n1＝(x，y，z)，由得解得x＝z，y＝z，取n1＝(，1,1)．(7分)又平面BCD的法向量为n＝(0,0,1)，(8分)则cos〈n1，n〉＝＝，设所求二面角为θ，则sinθ＝＝.(10分)【突破训练】(2012·苏北四市联考)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1上，D1P⊥平面PCE.试求：(1)线段D1P的长；(2)直线DE与平面PCE所成角的正弦值．12\n解 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(2,1,0)，C(0，2,0)．设P(x，y,2)，则＝(x，y,0)，＝(x－2，y－1,2)，＝(－2,1,0)．(2分)因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以·＝0，·＝0，故解得(舍去)或(4分)即P，所以＝，所以D1P＝＝.(6分)(2)由(1)知，＝(2,1,0)，＝，⊥平面PEC，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则sinθ＝|cosα|＝＝＝，所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为.(10分)【抢分秘诀】(1)建立空间坐标系，得到相关点的坐标．(2)用坐标正确表示相关向量．(3)尽可能的找出或求出相关平面的法向量．(4)借助符号语言，保证过程条理分明，正确计算求结果．【示例】►在十字路口的路边，有人在促销木糖醇口香糖，只听喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择(其中有一种为草莓口味)，小明一看，只见一大堆瓶装口香糖堆在一起(假设各种口味的口香糖均超过3瓶，且每瓶价值均相同)．(1)小明花10元钱买三瓶，请问小明共有多少种选择的可能性？12\n(2)小明花10元钱买三瓶，售货员随便拿三瓶给小明，请列出有小明喜欢的草莓味口香糖瓶数X的分布列，并计算其数学期望．解题突破 (1)分三类情况讨论：①8种口味均不一样；②两瓶口味一样；③三瓶口味一样．(2)确定X的取值为0,1,2,3.分别计算各种取值的概率，写出分布列并计算其数学期望．解 (1)若8种口味均不一样，有C＝56种；若其中两瓶口味一样，有CC＝56种；若三瓶口味一样，有8种，所以小明共有56＋56＋8＝120种选择，(4分)(2)X的取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝＝；P(X＝1)＝＝＝；P(X＝2)＝；P(X＝3)＝.(8分)所以X的分布列为X0123P其数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(10分)【突破训练】某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为.(1)求小李第一次参加考核就合格的概率p1；(2)求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X)解 (1)由题意得(1－p1)·＝，∴p1＝或.∵p1＞，∴p1＝.(4分)(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为，，，1，所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，12\nP(X＝3)＝×＝，P(X＝4)＝×1＝，(6分)所以X的分布列为X1234P (8分)∴E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.(10分)【抢分秘诀】(1)要明确X的可能取值情况．(2)利用概率的有关知识，正确计算X的各个取值的概率．(3)求概率时要充分利用随机变量的概率、古典概型等知识．(4)写分布列时要按规范，注意用分布列的性质验证．【例1】►(2012·高邮模拟)在各项均为正数的数列{an}中，数列的前n项和为Sn满足Sn＝.(1)求a1，a2，a3的值；(2)由(1)猜想出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解题突破 (1)由S1＝a1＝可求a1＝1；同理可求a2，a3；(2)由a1，a2，a3的特征猜想数列{an}的通项公式，再用数学归纳法证明．解 (1)由S1＝得，a＝1，而an＞0，所以a1＝1.由S2＝得，a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1.又由S3＝得，a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.(3分)(2)猜想an＝－(n∈N*)．(4分)①当n＝1时，a1＝1＝－，猜想成立；②假设n＝k(k≥1)时猜想成立，即ak＝－，12\n则当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－.即ak＋1＝－＝－，(6分)化简得a＋2ak＋1－1＝0，解得ak＋1＝－＝－，即n＝k＋1时猜想成立，(9分)综上，由①、②知an＝－(n∈N*)．(10分)【突破训练1】在正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立，(1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a≤an－an＋1得an＋1≤an－a∵在数列{an}中an＞0，∴an＋1＞0，∴an－a＞0，∴0＜an＜1故数列{an}中的任意一项都小于1.(4分)(2)解 由(1)知0＜an＜1＝，那么a2≤a1－a＝－2＋≤＜，由此猜想：an＜(n≥2)．(6分)下面用数学归纳法证明：①当n＝2时，显然成立；②当n＝k时(k≥2，k∈N*)时，假设猜想正确，即ak＜≤，那么ak＋1≤ak－a＝－2＋＜－2＋＝－＝＜＝，∴当n＝k＋1时，猜想也正确综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜.(10分)【例2】►(江苏省2012届高三全真模拟一22)已知n的展开式中前三项的系数成等差数列．(1)求n的值；(2)求展开式中系数最大的项．解题突破 (1)由展开式中前三项的系数成等差数列，建立方程求n的值．12\n(2)展开式中系数最大的项的系数应满足大于前一项的系数，还大于后一项的系数，由此建立关系式，确定r的值．解 (1)由题设，得C＋×C＝2××C，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去)．(3分)(2)设第r＋1的系数最大，则(5分)即解得r＝2或r＝3.(8分)所以系数最大的项为T3＝7x5，T4＝7x.(10分)【突破训练2】设数列{an}满足：a1＝－5，an＋1＝2an＋3n＋1，已知存在常数p，q使数列{an＋pn＋q}为等比数列．解方程an＝0.解 由条件令an＋1＋p(n＋1)＋q＝k(an＋pn＋q)，则an＋1＝kan＋(kp－p)n＋kq－q－p，故⇒又a1＋p＋q＝2，∴an＋3n＋4＝2·2n－1，∴an＝2n－3n－4.(5分)计算知a1＝－5，a2＝－6，a3＝－5，a4＝0，a5＝13.故猜测n≥5时，an＞0，即2n＞3n＋4，下证：①当n＝5成立；②假设n＝k(k≥5)时成立，即2k＞3k＋4，那么当n＝k＋1时，2k＋1＞2·(3k＋4)＝6k＋8＞3k＋7＝3(k＋1)＋4，故当n＝k＋1时成立，由①②可知，命题成立．故方程an＝0的解为n＝4.(10分)【抢分秘诀】1．关于二项式定理(1)二项式定理主要题目类型：①证明某些整除问题或求余数．②证明有关不等式．(2)解题方法归纳：①利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题，在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式，要注意变形的技巧．②由于(a＋b)n的展开式共有(n12\n＋1)项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．而对于整除问题，关键是拆成两项后，利用二项式定理展开，然后说明各项是否能被整除．2．关于数学归纳法(1)要验证初始值成立．(2)要运用归纳假设，根据归纳假设进行适当的变形．(3)用数学归纳法的两个步骤缺一不可．12
