课时作业(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2014·湖南岳阳4月)若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为( )A.，－4B．－，4C.，4 D．－，－4答案：A解析：因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，所以直线y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且直线2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得2．(2015·东营模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A.B．C．[－，]D．答案：B解析：设弦心距为d，则d＝≤1，即≤1，解得－≤k≤.3．(2015·安徽六校联考)两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，则a＋b的最小值为( )A．－6B．－3C．－3D．3答案：C解析：两个圆恰有三条公切线，则两圆外切．两圆的标准方程为圆C1：(x＋a)2＋y2＝4，圆C2：x2＋(y－b)2＝1，所以|C1C2|＝＝2＋1＝3，即a2＋b2＝9.因为a2＋b2≥，当且仅当“a＝b”时等号成立，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)，即|a＋b|≤3.所以－3≤a＋b≤3.故a＋b的最小值为－3.6\n4．(2015·鞍山模拟)已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点的个数最多为( )A．3B．4C．5D．6答案：B解析：如图，对于半径为1的圆有一个位置正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个或5个以上的交点不能实现．5．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是( )A．2B．3C．4D．6答案：C解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，依题意得圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以有2a×(－1)＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3.①又由点(a，b)向圆所作的切线长为l＝，②将①代入②，得l＝＝，∵b∈R，∴当b＝－1时，lmin＝4.6．从原点向圆x2＋y2－12y＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为( )A．πB．2πC．4πD．6π答案：B解析：如图，圆x2＋y2－12y＋27＝0可化为x2＋(y－6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3.6\n在Rt△OBC中，可得∠OCB＝，所以∠ACB＝，所以所求劣弧长为2π.7．设A，B，C是圆x2＋y2＝1上不同的三个点，且·＝0，存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，则实数λ，μ的关系为( )A．λ2＋μ2＝1B．＋＝1C．λμ＝1D．λ＋μ＝1答案：A解析：特例法：设＝(1,0)，＝(0,1)，则根据＝λ＋μ，可得C(λ，μ)，因为C是圆上的点，所以可得λ2＋μ2＝1.故应选A.8．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是( )A．相离B．相切C．相交D．不确定答案：C解析：∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P，半径为.∵点P到直线x－y－1＝0的距离为<，∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故应选C.9．(2015·日照二模)若函数f(x)＝－eax(a>0，b>0)的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y26\n＝1相切，则a＋b的最大值是( )A．4B．2C．2D．答案：D解析：依题意得f′(x)＝－eax·a，所以f′(0)＝－e0·a＝－，即在x＝0处的切线斜率为k＝－，又f(0)＝－e0＝－，所以切点为，所以切线方程为y＋＝－x，即ax＋by＋1＝0，圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝＝1，即a2＋b2＝1，所以1＝a2＋b2≥2ab，即0<ab≤.又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1，所以(a＋b)2＝2ab＋1≤1＋1＝2，即a＋b≤，所以a＋b的最大值是，故应选D.二、填空题10．设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________．答案：2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0解析：设直线方程为y－5＝k(x－3)，令x＝0，得y＝5－3k，所以P(0,5－3k)，由A恰好为线段BP的中点，所以＝，所以A(2,5－k)，代入圆的方程得k＝±2，所以直线为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.11．(2015·三门峡一模)两圆相交于两点(1,3)和(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋6\nc＝0上，且m，c均为实数，则m＋c＝________.答案：3解析：根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，－1)的中点在直线x－y＋c＝0上，并且过两点的直线与x－y＋c＝0垂直，故有∴m＝5，c＝－2，∴m＋c＝3.12．与直线l：x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．答案：(x－2)2＋(y－2)2＝2解析：如图所示，∵圆A：(x－6)2＋(y－6)2＝18，∴A(6,6)，半径r1＝3，且OA⊥l，A到l的距离为5，显然所求圆B的直径2r2＝2，即r2＝，又OB＝OA－r1－r2＝2，由与x轴正半轴成45°角，∴B(2,2)，∴方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.13．(2014·重庆)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.答案：4±解析：依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.14．(2015·济宁模拟)已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为________．答案：解析：由题意可知圆的圆心为(2，－1)，把(2，－1)代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1.因为a＋b≥2，即2≤1，当且仅当a＝b＝时取等号，∴0<ab≤，∴ab6\n的最大值为.三、解答题15．(2015·苏北三市联考)已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖．(1)试求圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．解：(1)由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是.所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.(2)设直线l的方程是y＝x＋b，因为CA⊥CB，所以圆C到直线l的距离是，即＝，解得b＝－1±.所以直线l的方程为y＝x－1±.6
