课时作业(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1.(2015·诸暨质检)已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )A.(-∞,-4]∪ B.C. D.答案:A解析:如图所示,∵kPN==,kPM==-4,∴要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN,当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,即k≥或k≤-4,故应选A.2.(2015·济南一模)曲线y=|x|与y=kx-1有且只有一个交点,则实数k的取值范围是( )A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:D解析:y=|x|的图象如图所示,直线y=kx-1过定点(0,-1),由图可知,当-1≤k≤1时,没有交点;当k<-1或k>1时,有一个交点.3.(2015·秦皇岛一模)若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是( )A.-B.C.-D.答案:A解析:由题意,可设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解,得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),所以解得k=-.7\n4.(2015·哈尔滨模拟)函数y=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( )A.45° B.60°C.120° D.135°答案:D解析:由函数y=f(x)=asinx-bcosx的一条对称轴为x=,知f(0)=f,即-b=a,∴直线l的斜率为-1,∴倾斜角为135°.5.(2015·伊春一模)直线xsinα-y+1=0的倾斜角的取值范围是( )A.B.(0,π)C.D.∪答案:D解析:直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα,∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.当0≤k≤1时,倾斜角的范围是;当-1≤k<0时,倾斜角的范围是.综上,倾斜角的取值范围是∪,故应选D.6.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( )A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案:B解析:设直线的方程为+=1(a>0,b>0),则有+=1,∴a+b=(a+b)=5++≥5+4=9,7\n当且仅当=,即a=3,b=6时取“=”.∴直线方程为2x+y-6=0.故应选B.7.已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )答案:C解析:∵f(x)=ax,且x<0时,f(x)>1,∴0<a<1,>1.又∵y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且>,故C项符合要求.故应选C.8.(2015·济宁模拟)若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足( )A.m≠0B.m≠-C.m≠1D.m≠1,m≠-,m≠0答案:C解析:由题意得2m2+m-3,m2-m不能同时为0.故应选C.9.过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A.2x+y-12=0B.2x+y-12=0或2x-5y=0C.x-2y-1=0D.x-2y-1=0或2x-5y=0答案:B解析:当直线过原点时,方程为2x-5y=0;不过原点时,可设其截距式方程为+=1,再由过点(5,2)即可解出a=6.即直线方程为2x+y-12=0.7\n故应选B.10.若点P(1,1)是圆x2+(y-3)2=9的弦AB的中点,则直线AB的方程为( )A.x-2y+1=0B.x+2y-3=0C.2x+y-3=0D.2x-y-1=0答案:A解析:根据题意可知直线AB与PC垂直,故kAB=-=,从而得直线AB方程为y-1=(x-1),整理得直线AB方程为x-2y+1=0.故应选A.二、填空题11.若A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)(ab≠0)三点共线,则+的值为________.答案:-解析:由题意知=,整理得2a+2b=-ab.∴+=-.12.如图,点A,B在函数y=tan的图象上,则直线AB的方程为________.答案:x-y-2=0解析:由图象可知A(2,0),B(3,1),由两点式得直线的方程为=,整理得x-y-2=0.13.已知A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上移动,则xy的最大值等于________.答案:37\n解析:线段AB的方程为+=1(0≤x≤3),即y=4-x,代入xy得xy=-x2+4x=-2+3,所以由二次函数性质知,当x=时,xy的最大值等于3.14.已知点P(0,2),A(3,2),B(0,-1),在线段AB上任取一点M,则直线MP的倾斜角α≥的概率为________.答案:解析:由题意知直线AB的方程为y=x-1,直线MP的倾斜角α=时,斜率为-1,此时直线MP的方程为y=-x+2,解方程组得交点N,当点M在线段AN上时,直线MP的倾斜角α≥,由于|AN|=,|AB|=3,故所求概率为P==.15.直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是________.答案:∪[5,+∞)解析:如图所示,设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是k1=5,直线PB的斜率是k2=-.当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的变化范围为[5,+∞);当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围为,故直线l的斜率的取值范围是∪[5,+∞).16.已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).求:(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程;7\n(2)BC边的中线的一般式方程,并化为截距式方程.解:(1)平行于BC边的中位线就是AB,AC中点的连线.因为线段AB,AC中点坐标为,,所以这条直线的方程为=,整理得6x-8y-13=0,化为截距式方程为-=1.(2)因为BC边上的中点为(2,3),所以BC边上的中线方程为=,即7x-y-11=0,化为截距式方程为-=1.17.如图,射线OA,OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA,OB于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.解:由题意,可得kOA=tan45°=1,kOB=tan(180°-30°)=-,所以直线lOA:y=x,lOB:y=-x.设A(m,m),B(-n,n),所以AB的中点C,由点C在y=x上,且A,P,B三点共线得7\n解得m=,所以A(,).又P(1,0),所以kAB=kAP==,所以lAB:y=(x-1),即直线AB的方程为(3+)x-2y-3-=0.7