课时作业53 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线xtan＋y＋2＝0的倾斜角α是( )A.B.C.D．－解析：由已知可得tanα＝－tan＝－，因α∈[0，π)，所以α＝，故选C.答案：C2．已知A(3,4)，B(－1,0)，则过AB的中点且倾斜角为120°的直线方程是( )A.x－y＋2－＝0B.x－y＋1－2＝0C.x＋y－2－＝0D.x＋3y－6－＝0解析：由题意可知A、B两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k＝tan120°＝－∴直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－2－＝0.答案：C3．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：由题意，知a≠0，令x＝0，得y＝2＋a；令y＝0，得x＝，故2＋a＝，解得a＝－2或a＝1.答案：D5\n4．如右图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：正切函数y＝tanx在区间[0，π)上并不是单调的，但它在上和上都是递增的．利用正切函数的图象即可．答案：D5．方程|x|＋|y|＝1所表示的图形在直角坐标系中所围成的面积是( )A．2B．1C．4D.解析：去掉绝对值，分段画出图象，发现该图象是以为边的正方形，求正方形面积即可．答案：A6．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y＝ax＋表示的直线是( )解析：由已知得，0<a<1，排除A、D，和直线y＝x相比较知，选C.答案：C二、填空题7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈[∪，则k的取值范围是________．解析：当α∈时，k＝tanα∈；当α∈时，k＝tanα∈[－，0)．综上k∈[－，0)∪.5\n答案：[－，0)∪8．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P、Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．解析：设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝＝－.答案：－9．斜率为2的直线经过A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________和________．解析：由已知条件得kAB＝＝2，解得a＝4；kAC＝＝2，解得b＝－3.答案：4 －3三、解答题10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：(1)直线l的斜率为1；(2)直线l在x轴上的截距为－3.解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.(2)解法1：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.解法2：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.11．已知△ABC中，A(1，－4)，B(6,6)，C(－2,0)．求：(1)△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方程和截距式方程；(2)BC边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1)平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线．因为线段AB、AC中点坐标为，，所以这条直线的方程为＝，整理得6x－8y－13＝0，化为截距式方程为－＝1.5\n(2)因为BC边上的中点为(2,3)，所以BC边上的中线方程为＝，即7x－y－11＝0，化为截距式方程为－＝1.1．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.解析：如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，满足条件的直线l的倾斜角的范围是.答案：B2．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成三角形的面积为( )A．36B．45C．50D．555\n解析：由an＝，可知an＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－，又知Sn＝，∴1－＝，即n＝9.∴直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.答案：B3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析：直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.答案：4．已知射线l：y＝4x(x>1)和点M(6,4)，在射线l上求一点N，使直线MN与l及x轴围成的三角形面积S最小．解：设N(x0,4x0)(x0>1)，则直线MN的方程为(4x0－4)(x－6)－(x0－6)(y－4)＝0.令y＝0得x＝，所以S＝＝＝＝10[(x0－1)＋＋2]≥10＝40.当且仅当x0－1＝即x0＝2时取等号，所以当N为(2,8)时，三角形面积S最小．5
