课后限时集训(六十四) 二项式定理建议用时：25分钟一、选择题1．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C＋…＋C等于( )A．63B．64C．31D．32A [运用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C＋C＋C＋…＋C＝26－C＝64－1＝63.]2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )A．12B．16C．20D．24A [展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.]3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为( )A．10B．20C．30D．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C．法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C．]4．已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A．212B．211C．210D．29D [因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.故选D．]5．在(x－2)6展开式中，二项式系数的最大值为a，含x5项的系数为b，则＝( )A．B．－C．D．－B [由条件知a＝C＝20，b＝C(－2)1＝－12，∴＝－，故选B．]\n6．已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A．－80B．－40C．40D．80D [令x＝1，得展开式的各项系数和为＝1＋a，∴1＋a＝2，∴a＝1，∴＝＝＋，所求展开式中常数项为的展开式的常数项与x项的系数和，展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r(－1)r·＝(－1)r25－rCx5－2r，令5－2r＝1得r＝2；令5－2r＝0，无整数解，∴展开式中常数项为8C＝80，故选D．]7．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝( )A．284B．356C．364D．378C [令x＝0，则a0＝1；令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36， ①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1， ②①②两式左右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365.又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.]二、填空题8．在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5的展开式中，含x2项的系数是．20 [含x2项的系数为C＋C＋C＋C＝20.]9．在的展开式中，含x5项的系数为．－6 [由＝C－C＋C－…－C＋C，可知只有－C的展开式中含有x5，所以的展开式中含x5项的系数为－CC＝－6.]10．在(x＋y)n的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于．\n11,12,13 [根据题意，分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13.所以n的值可能等于11,12,13.]1．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是( )A．5B．6C．7D．8B [由二项式定理知an＝C(n＝1,2,3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，∴a6＝C，则k的最大值为6.]2．已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则下列等式不成立的是( )A．m＝2B．a3＝－280C．a0＝－1D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14A [令1－x＝，即x＝，可得7＝(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，得m＝3，则令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1.(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]7，所以a3＝C×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2，得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14.]3．(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为，展开式中x2项的系数为．3 －11 [设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7， ①令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7， ②②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)，则(1＋3x)2(1－x)5的展开式中x2项的系数为C32＋C×3×C(－1)＋C×30×C(－1)2＝－11.]4．若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝.251 [x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C－C＝252－1＝251.]1．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a\n＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220,a≡b(mod10)，则b的值可以是( )A．2011B．2012C．2013D．2014A [因为a＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C1010－C109＋…－C10＋1，所以a被10除所得的余数为1.观察各选项，知2011被10除得的余数是1，故选A．]2．已知(a＞0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法错误的是( )A．展开式中奇数项的二项式系数和为256B．展开式中第6项的系数最大C．展开式中存在常数项D．展开式中含x15项的系数为45A [因为的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，所以C＝C，得n＝10.因为展开式中各项系数之和为1024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1024，得a＝1.故给定的二项式为，其展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512，故A不正确．由n＝10可知二项式系数最大的项是展开式的第6项，而展开式的系数与对应的二项式系数相等，故B正确．展开式的通项公式为Tk＋1＝C(x2)10－k·＝Cx(k＝0,1,2，…，10)，令20－＝0，解得k＝8，即常数项为第9项，故C正确．令20－＝15，得k＝2.故展开式中含x15项的系数为C＝45.故D正确．]
