课后限时集训(五十二) 椭圆及其性质建议用时：40分钟一、选择题1．(2019·北京高考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2bD．3a＝4bB [由题意，＝，得＝，则＝，∴4a2－4b2＝a2，即3a2＝4b2.故选B．]2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )A．B．(1，＋∞)C．(1,2)D．C [由题意得解得1＜k＜2.故选C．]3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C [根据椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝8，∴a＝2，又c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.]4．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )A．－B．－1C．D．B [设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设＝2c，则＝c，＝c.由椭圆定义，得2a＝|DF1|＋|DF2|＝c＋c，所以e＝＝\n＝－1，故选B．]5．(2020·武邑模拟)点P在焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C [由题意，2c＝8，即c＝4，∵△PF1F2面积的最大值为16，∴×2c×b＝16，即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32.则椭圆的标准方程为＋＝1.故选C．]6．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆上的动点．若∠A1PA2的最大值可以取到120°，则椭圆C的离心率为( )A．B．C．D．D [由题意知，当点P在椭圆的短轴端点处时，∠A1PA2有最大值，则tan60°＝，即＝.所以e2＝1－＝1－＝，即e＝，故选D．]二、填空题7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为．(－5,0) [∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为．(3，) [不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以\nM的坐标为(3，)．]9．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足1·2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是． [满足1·2＝0的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有c＜b，即c2＜b2，又b2＝a2－c2，所以c2＜a2－c2，即2c2＜a2，所以e2＜，又因为0＜e＜1，所以0＜e＜.]三、解答题10．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．[解] 由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，所以点M的轨迹方程为＋＝1.11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.\n(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－.代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，解得a2＝3.所以椭圆方程为＋＝1.1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，给出以下四个结论：①|QF1|＋|QP|的最小值为2－1②椭圆C的短轴长可能为2③椭圆C的离心率的取值范围为④若＝，则椭圆C的长轴长为＋则上述结论正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④C [因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故①正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋＞1，则点P在椭圆外，故②错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，所以＞，所以e＝＜，\n所以椭圆C的离心率的取值范围为，故③正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故④正确．故选C．]2.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③<；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是( )A．①③B．①④C．②③D．②④D [观察图形可知a1＋c1>a2＋c2，即①式不正确；a1－c1＝a2－c2＝|PF|，即②式正确；由a1－c1＝a2－c2>0，c1>c2>0知，<，即<，从而c1a2>a1c2，>，即④式正确，③式不正确．故选D．]3．(2020·豫州九校联考)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，求·的取值范围．[解] 因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，所以2a＋2c＝4b，即a＋c＝2b.F(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c＝3.在椭圆中，a2＝c2＋b2，所以，解方程组得\n所以椭圆方程为＋＝1.设P(m，n)(0＜m＜5)，则＋＝1，则n2＝16－m2.所以·＝(m，n)(3－m，－n)＝3m－m2－n2＝3m－m2－＝－m2＋3m－16＝－－.因为0＜m＜5，所以当m＝时，·取得最大值为－，当m趋近于0时，·的值趋近于－16.所以·的取值范围为.1．(2020·北京模拟)已知椭圆G：＋＝1(0＜b＜)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②|OP|的最小值为2；③存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，其中，所有正确命题的序号是．①② [椭圆G：＋＝1(0＜b＜)的两个焦点分别为F1(，0)和F2(－，0)，\n短轴的两个端点分别为B1(0，－b)和B2(0，b)，设P(x，y)，点P在椭圆G上，且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，由椭圆定义可得，|PB1|＋|PB2|＝2a＝2＞2b，即有P在椭圆＋＝1上，对于①，将x换为－x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P满足x2＝y2，即有6－b2＝b2，即b＝时，|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2时，即有|OP|＝＝＝2取得最小值为2，故②正确；对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②.]2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．[解] (1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.\n由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．
