课后限时集训(四十九) 两条直线的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定C [直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C．]2．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( )A．－10B．－2C．0D．8A [因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.解得m＝－8.又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.]3．经过两直线l1：2x－3y＋2＝0与l2：3x－4y－2＝0的交点，且平行于直线4x－2y＋7＝0的直线方程是( )A．x－2y＋9＝0B．4x－2y＋9＝0C．2x－y－18＝0D．x＋2y＋18＝0C [由解得所以直线l1，l2的交点坐标是(14,10)．设与直线4x－2y＋7＝0平行的直线l的方程为4x－2y＋C＝0(C≠7)．因为直线l过直线l1与l2的交点(14,10)，所以C＝－36.所以直线l的方程为4x－2y－36＝0，即2x－y－18＝0.故选C．]4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝( )A．7B．C．14D．17B [直线l1：x＋3y＋m＝0(m>0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.]5．一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是( )A．B．2C．3D．4B [点(0,0)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为(－1,1)，则最短路程为\n＝2.]6．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )A．B．C．2D．2A [联立解得把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.]二、填空题7．已知直线l1：mx＋3y＋3＝0，l2：x＋(m－2)y＋1＝0，则“m＝3”是“l1∥l2”的条件．既不充分也不必要 [若l1∥l2，则∴m＝－1.∴“m＝3”是“l1∥l2”的既不充分也不必要条件．]8．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为．x－y＋1＝0 [因为kPQ＝＝－1，故直线l的斜率为1，又线段PQ的中点为(2,3)，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.]9．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是．x＋2y－3＝0 [当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.]三、解答题10．已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．[解] 依题意知kAC＝－2，A(5,1)，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0，联立直线AC和直线CM的方程，得所以C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，所以所以B(－1，－3)，所以kBC＝，所以直线BC\n的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.11．一条光线经过点P(2,3)射在直线l：x＋y＋1＝0上，反射后经过点Q(1,1)，求：(1)入射光线所在直线的方程；(2)这条光线从P到Q所经过的路线的长度．[解] (1)设点Q′(x′，y′)为点Q关于直线l的对称点，QQ′交l于点M，∵kl＝－1，∴kQQ′＝1，∴QQ′所在直线的方程为y－1＝1×(x－1)，即x－y＝0.由解得∴交点M，∴解得∴Q′(－2，－2)．设入射光线与l交于点N，则P，N，Q′三点共线，又P(2,3)，Q′(－2，－2)，∴入射光线所在直线的方程为＝，即5x－4y＋2＝0.(2)|PN|＋|NQ|＝|PN|＋|NQ′|＝|PQ′|＝＝，即这条光线从P到Q所经路线的长度为.1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线的方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标是( )A．(－4,0)B．(0，－4)C．(4,0)D．(4,0)或(－4,0)A [设C(m，n)，由重心坐标公式，得△ABC的重心为，代入欧拉线方程得－＋2＝0，整理得m－n＋4＝0，①\n易得AB边的中点为(1,2)，kAB＝＝－2，AB的垂直平分线的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.由解得∴△ABC的外心为(－1,1)，则(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8.②联立①②解得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.当m＝0，n＝4时，点B，C重合，应舍去，∴顶点C的坐标是(－4,0)．故选A．]2．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋(x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是．4 [由y＝x＋(x>0)，得y′＝1－，设斜率为－1的直线与曲线y＝x＋(x>0)切于(x0，x0＋)(x0＞0)，由1－＝－1，解得x0＝(x0>0)．∴曲线y＝x＋(x>0)上，点P(，3)到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为＝4.]3．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在直线的方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求：(1)点A和点C的坐标；(2)△ABC的面积．[解] (1)由方程组解得点A(－1,0)．又直线AB的斜率为kAB＝1，且x轴是∠A的平分线，故直线AC的斜率为－1，所以AC所在的直线方程为y＝－(x＋1)．已知BC边上的高所在的直线方程为x－2y＋1＝0，故直线BC的斜率为－2，故BC所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．解方程组得点C的坐标为(5，－6)．(2)因为B(1,2)，C(5，－6)，所以|BC|＝＝4，点A(－1,0)到直线BC：y－2＝－2(x－1)的距离为d＝＝，所以△ABC的面积为×4×＝12.
