课后限时集训(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系建议用时：40分钟一、选择题1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥cC [若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C．]2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( )A．①B．①④C．②③D．③④B [①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B．]3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )A B C DD [A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC\nC [由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD．]5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为( )A．B．C．D．B [不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，于是cos∠FAG＝＝，故选B．]6．在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小为( )A．30°B．60°C．75°D．90°D [将正三棱柱ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1D∥B1A，∠BC1D为所求角或其补角．设BB1＝，则BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2，又因为BC1＝C1D＝，所以∠BC1D＝90°.]二、填空题7．已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条．\n4 [如图，作出长方体ABCDEFGH.在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD．共4条．]8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为．30° [如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，∴EF与CD所成角的度数为30°.]9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有．(填序号)① ② ③ ④②④ [图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，\nN共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]三、解答题10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？[解] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD．又BC綊AD，∴GH綊BC．∴四边形BCHG为平行四边形．(2)∵BE綊AF，G为FA的中点，∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．[解] (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，\n所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为( )A．B．－C．D．－A [如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A．]2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )\nA．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B [如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F.连接BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO＝，ON＝1，EN＝2，MF＝，BF＝，∴BM＝.∴BM≠EN.连接BD，BE，∵点N是正方形ABCD的中点，∴点N在BD上，且BN＝DN.又∵M为ED的中点，∴BM，EN为△DBE的中线，∴BM，EN必相交．故选B．]3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD．试证明：EG＝FH.\n[解] (1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD．所以EH∥FG.所以E，F，G，H四点共面．(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．因为＝＝，所以EH＝BD．同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.
