2023高考数学统考一轮复习课后限时集训44直线平面垂直的判定及其性质理含解析新人教版202302272152

课后限时集训(四十四)　直线、平面垂直的判定及其性质建议用时：40分钟一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是(　　)A．l∥β或l⊂βB．l∥mC．m⊥αD．l⊥mA　[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，A正确，故选A．]2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是(　　)A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥βB　[对于A，若α⊥β，m⊂β，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当n⊂α时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，结论不成立，故D错．故选B．]3.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]4．(2020·南宁模拟)在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为(　　)A．B．C．D．\nA　[连接BD，交AC于点O.因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA．又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC．连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成角．又因为PA＝AB＝2，所以PB＝2，BO＝.所以sin∠BPO＝＝，所以∠BPO＝.故选A．]5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C．]6．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是(　　)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD　[∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，\n∴BD⊥CD．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB．又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD⊂平面ADC，CD⊂平面ADC，故AB⊥平面ADC．又AB⊂平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．]二、填空题7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为．30°　[连接BC1(图略)，由AB⊥平面BB1C1C知∠AC1B就是直线AC1与平面BB1C1C所成的角．由2×2×AA1＝8得AA1＝2，∴BC1＝＝2，在Rt△AC1B中，tan∠AC1B＝＝＝，∴∠AC1B＝30°.]8.四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面．(只填序号)①平面PAB；②平面ABC；③平面PAC；④平面PBC；⑤平面POC．②⑤(答案不唯一)　[∵四面体PABC中，PA＝PB＝PC，底面△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，O为AB中点，∴CO⊥AB，PO⊥AB，CO∩PO＝O，∴AB⊥平面POC．∵AB⊂平面ABC,∴平面POC⊥平面ABC，∴两个相互垂直的平面为②⑤.]9．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则点A1到平面AB1D1的距离是．\n　[如图，△AB1D1中，AB1＝AD1＝，B1D1＝，∴△AB1D1的边B1D1上的高为＝，∴S＝××＝，设A1到平面AB1D1的距离为h；则有S△AB1D1×h＝S△A1B1D1×AA1，即h＝×2，解得h＝.]三、解答题10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明]　(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．\n由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.11．(2020·茂名一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝.(1)求证：平面A1DC⊥平面ABB1A1；(2)求点A到平面A1DC的距离．[解]　(1)证明：∵在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D是AB的中点，BC＝AC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AB，CD⊥AA1，∵AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1，∵CD⊂平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ABB1A1.(2)点D是AB的中点，BC＝AC，AB＝2DC＝2，AA1＝.设点A到平面A1DC的距离为d，∵V＝V，∴×S△ACD×AA1＝×S×d，\n∴××1×1×＝××1×2×d，解得d＝，∴点A到平面A1DC的距离为.1．(2020·武汉模拟)如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC的内部A　[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A．]2．已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为60°，若△PAB的面积为，则该圆锥的体积为．π　[作示意图如图所示，设底面半径为r，PA与圆锥底面所成角为60°，则∠PAO＝60°，则PO＝r，PA＝PB＝2r，又PA，PB所成角的余弦值为，\n则sin∠APB＝＝，则S△PAB＝PA·PB·sin∠APB＝·2r·2r·＝，解得r＝，故圆锥的体积为·π·2·＝π.]3．(2020·郑州模拟)如图，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上，PA∥平面EBD．(1)证明：点E为线段PC中点；(2)已知PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，点P到平面EBD的距离为1，四棱锥PABCD的体积为2，求PA．[解]　(1)证明：连接AC，与BD相交于点O，连接EO，则经过PA的平面PAC与平面EBD交线为EO.因为PA∥平面EBD，所以PA∥EO.因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC的中点，所以EO是△PAC中位线，于是E为线段PC中点．(2)因为PA∥平面EBD，所以点A到平面EBD的距离等于点P到平面EBD的距离等于1.因为PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，所以平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD＝BD．因为AO⊥BD，所以AO⊥面EBD，因此AO＝1.因为∠ABC＝60°，所以四边形ABCD是边长为2的菱形，面积为2×2×sin60°＝2，所以四棱锥PABCD的体积为\nVPABCD＝·2·PA，由·2·PA＝2，得PA＝3.1．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为．　[如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC．又PE＝PF＝，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝＝＝.]2．(2020·浙江省诸暨中学月考)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．[解]　(1)证明：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，\n所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE.又PB⊥EF，DE∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线．由(1)知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG.又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG.而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD．故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝，在Rt△PDB中，由DF⊥PB,得∠DPF＝∠FDB＝，则tan＝tan∠DPF＝＝＝，解得λ＝.所以＝＝.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，＝.