课后限时集训(二十九) 三角函数的图象与性质建议用时：40分钟一、选择题1．函数y＝的定义域是( )D [由题意知2cos2x＋1≥0，即cos2x≥－.∴2kπ－π≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，故选D．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝( )A．2B．C．1D．A [由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A．]3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是( )A．f(x)＝|sin2x|B．f(x)＝tan|x|C．f(x)＝－cos2xD．f(x)＝cos|2x|C [函数f(x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B．函数f(x)＝|sin2x|在上不是单调函数，故排除A．\n函数f(x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，综上知选C．]4．函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为( )A．3，－1B．3，－2C．2，－1D．2，－2D [y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.]5．已知函数f(x)＝sin(0＜ω＜π)，f＝0，则函数f(x)的图象的对称轴方程为( )A．x＝kπ－，k∈ZB．x＝kπ＋，k∈ZC．x＝kπ，k∈ZD．x＝kπ＋，k∈ZC [f(x)＝sin＝cosωx，则f＝cos＝0，∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，即f(x)＝cos2x.由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C．]6．已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x＝时取最大值，当x＝－时取最小值，则φ的值可能为( )A．B．C．D．C [T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能为.故选C．]二、填空题\n7．函数y＝cos的单调递减区间为．(k∈Z) [因为y＝cos＝cos，所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]8．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝. [由题意知ω＝，解得ω＝.]9．函数f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tanθ等于．－ [f(x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，因为函数f(x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tanθ＝tan＝－.]三、解答题10．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解] (1)由T＝2知＝2得ω＝π.又当x＝时f(x)max＝2，知A＝2.且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．\n∴f(x)＝2sin＝2sin.(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤.得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5.故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝.11．已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．[解] (1)f(x)＝a·b＋＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋＝sinx·cosx－cos2x＋＝sin2x－cos2x＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋π(k∈Z)，即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋π(k∈Z)．(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，则x1＋x2＝，∴cos(x1－x2)＝cos＝cos＝cos＝sin＝f(x1)＝.\n1．(2020·莆田模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，当ω取最小值时，φ＝( )A．B．C．D．D [当ω取最小值时，T＝4＝π，即＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，∴φ＋π＝kπ，k∈Z.即φ＝kπ－，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ＝，故选D．]2．(2020·朝阳区二模)已知函数f(x)＝sin，则下列四个结论中正确的是( )A．函数f(x)的图象关于中心对称B．函数f(x)的图象关于直线x＝－对称C．函数f(x)在区间(－π，π)内有4个零点D．函数f(x)在区间上单调递增C [对于函数f(x)＝sin，令x＝，求得f(x)＝，故函数f(x)的图象不关于中心对称，故排除A；令x＝－，求得f(x)＝sin，不是最值，故函数f(x)的图象不关于直线x＝－对称，故排除B；在区间(－π，π)上，2x－∈，当2x－＝－2π，－π，0，π时，f(x\n)＝0，故函数f(x)在区间(－π，π)内有4个零点，故C正确；在区间上，2x－∈，f(x)没有单调性，故D错误，故选C．]3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0＜ω＜1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．[解] (1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx.因为图象关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝.(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f(x)的递增区间是，k∈Z.(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.1．已知函数f(x)＝sinx＋cosx在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )A．－B．－C．D．C [法一：∵f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋\n＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C．法二：∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f′(x)＝cosx－sinx.又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴f′(θ)＝cosθ－sinθ＝0，即tanθ＝，则cos＝(cos2θ－sin2θ)＝×＝，故选C．]2．已知函数f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．[解] f(x)＝a(1＋cosx＋sinx)＋b＝asin＋a＋b.(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8.综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
