第8章平面解析几何全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题，1道解答题，分值约占20～24分.2.考查内容(1)对直线方程、圆及圆锥曲线的概念和性质的考查一般以选择题或填空题为主，重在考查学生的双基.(2)对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常以定点问题、最值问题及探索性问题为载体，重在考查等价转化思想、方程思想及数学运算能力. 直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考试要求] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，\n即k＝tanα，倾斜角是的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.3．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距，斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点，斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点＝与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距＋＝1不过原点，且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面内所有直线都适用提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．2．特殊直线的方程(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；(3)y轴的方程为x＝0；(4)x轴的方程为y＝0.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.( )\n(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(3)直线的截距就是直线与坐标轴的交点到原点的距离．( )(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的斜率是( )A．B．－C．D．－D [kAB＝＝－，故选D．]2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为( )A．x－3y＋6＋＝0B．x－3y－6＋＝0C．x＋3y＋6＋＝0D．x＋3y－6＋＝0A [直线的斜率k＝tan30°＝.由点斜式方程得y－2＝(x＋1)，即x－3y＋6＋＝0，故选A．]3．在x轴、y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为．3x－4y－12＝0 [由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]4．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为．或 [设直线的倾斜角为α，则|tanα|＝1，∴tanα＝±1.又α∈[0，π)，∴α＝或.]考点一 直线的倾斜角与斜率 斜率取值范围的两种求法数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可\n1．若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于( )A．－1B．－3C．0D．2B [由题意可知＝tan＝－1，解得y＝－3.故选B．]2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是．∪ [当－1≤k＜0时，≤θ＜π，当0≤k≤1时，0≤θ≤.因此θ的取值范围是∪.]3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为．(－∞，－]∪[1，＋∞) [如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]点评：(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论．(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．考点二 直线方程的求法 求直线方程的两种方法[典例1] 求适合下列条件的直线方程：\n(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，求直线MN的方程．[解] (1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.(3)设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以＝0，所以x0＝－5.因为点N在x轴上，所以＝0，\n所以y0＝－3，即C(－5，－3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为＋＝1，即5x－2y－5＝0.点评：当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．[解] (1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用 处理直线方程综合应用的两大策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．[典例2] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；\n(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．[解] (1)证明：法一：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．法二：方程kx－y＋1＋2k＝0可化为y－1＝k(x＋2)，显然直线恒过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k＞0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0,1＋2k)．依题意得解得k＞0.∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.点评：本例(3)在求解中常忽略条件“”的书写，进而导致S最值的求解失误．1．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当||·||取得最小值时，直线l的方程为．x＋y－3＝0 [设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.||·||＝－·\n＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5＝(2a＋b)－5＝＋≥4，当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝. [由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，当a＝时，四边形的面积最小，故实数a的值为.]
