曲线与方程[考试要求] 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法.3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程．1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．提醒：“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．求动点的轨迹方程的基本步骤一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．( )(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( )\n(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( )(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×二、教材习题衍生1．到点F(0,4)的距离比到直线y＝－5的距离小1的动点M的轨迹方程为( )A．y＝16x2 B．y＝－16x2C．x2＝16yD．x2＝－16yC [由题意可知，动点M到点F(0,4)的距离等于到直线y＝－4的距离，故点M的轨迹为以点F(0,4)为焦点，以y＝－4为准线的抛物线，其轨迹方程为x2＝16y.]2．P是椭圆＋＝1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹方程为( )A．x2＋＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1B [设中点坐标为(x，y)，则点P的坐标为(x,2y)，代入椭圆方程得＋y2＝1.故选B．]3．若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为．x＋y－1＝0 [设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.∵l1⊥l2，∴|PM|＝|OM|，而|PM|＝，|OM|＝.∴＝，化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程．]4．已知线段AB的长为6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是．－＝1(x≠±3) [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－3,0)，B(3,0)．设点M的坐标为(x，y)，则直线AM的斜率kAM＝(x≠\n－3)，直线BM的斜率kBM＝(x≠3)．由已知有·＝(x≠±3)，化简整理得点M的轨迹方程为－＝1(x≠±3)．]考点一 直接法求轨迹方程 利用直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简．(2)运用直接法应注意的问题①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略．[典例1] 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．[解] (1)由题意可知，直线PM与PN的斜率均存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．(2)当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当－1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)．当λ＜－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．点评：(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹的形状、位置、大小等．\n1．(2020·全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则C的轨迹为( )A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线A [以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设A(－a,0)，B(a,0)，C(x，y)，则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，∵·＝1，∴(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，∴x2＋y2＝a2＋1，∴点C的轨迹为圆，故选A．]2．已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使·，·，·成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？[解] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得＝－＝(－1－x，－y)，＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)，所以·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，·＝2(1－x)．于是·，·，·是公差小于0的等差数列等价于即所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆(不含端点)．考点二 定义法求轨迹方程 定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．[典例2] 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．[解] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.\n由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．[母题变迁]1．把本例中圆M的方程换为：(x＋3)2＋y2＝1，圆N的方程换为：(x－3)2＋y2＝1，求圆心P的轨迹方程．[解] 由已知条件可知圆M和N外离，所以|PM|＝1＋R，|PN|＝R－1，故|PM|－|PN|＝(1＋R)－(R－1)＝2＜|MN|＝6，由双曲线的定义知点P的轨迹是双曲线的右支，其方程为x2－＝1(x＞1)．2．在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，求圆心P的轨迹方程．[解] 由于点P到定点N(1,0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1,0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.点评：应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系式结合曲线的定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知圆N：x2＋(y＋)2＝36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D(0，)和DP上的点M，满足＝2，·＝0.当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．[解] 连接QD(图略)，由题意知，MQ是线段DP的中垂线，所以|NP|＝|NQ|＋|QP|＝|QN|＋|QD|＝6＞|DN|＝2.由椭圆的定义可知，点Q的轨迹是以D，N为焦点的椭圆，依题意设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，则c＝，a＝3，b＝2，所以点Q的轨迹方程是＋＝1.考点三 相关点(代入)法求轨迹方程 “相关点法”求轨迹方程的基本步骤\n[典例3] (2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.[解] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.\n点评：本例第(1)问在求解中巧用“＝”实现了动点P(x，y)与另两个动点M(x0，y0)，N(x0，0)之间的转换，并借助动点M的轨迹求得动点P的轨迹方程；对于本例第(2)问的求解，采用的是“以算待证”的方法，即求得l的方程后，借助直线系的特点，得出直线过定点．1．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A．＋＝1(y≠0) B．＋y2＝1(y≠0)C．＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋y2＝1(y≠0)C [依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得即代入椭圆C：＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)．]2.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2,1<t<3与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．[解] 由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)，设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝(x－3)．②由①②相乘得y2＝(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④\n将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0)．
