圆的方程[考试要求] 1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心，半径提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.1．圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线．2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )\n(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．( )(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．( )(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )A．(2,3)，3B．(－2,3)，C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，D [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)，半径r＝.]2．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( )A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4A [AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.]3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C [设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.]4．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为．x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]考点一 圆的方程 求圆的方程的两种方法\n1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为．7 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，得解得所以A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0.因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.]2．(2020·包头青山区模拟)已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为．(x－3)2＋(y－2)2＝13 [法一：(几何法)kAB＝＝－1，则AB的垂直平分线方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，联立方程解得r＝＝，故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.法二：(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意可得解得故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.]3．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 [法一：由圆C的圆心在直线x＋y＝0上，∴设圆C的圆心为(a，－a)．又∵圆C与直线x－y＝0相切，\n∴半径r＝＝|a|.又圆C在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，∴d2＋＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－－＝0，即D＋E＝0，①又∵圆C与直线x－y＝0相切，∴＝，即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝，由已知得d2＋＝r2，∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③联立①②③，解得故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.]4．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是，半径是．(－2，－4) 5 [由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，\n化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．]点评：(1)几何法的关键是定圆心．(2)已知圆心位置常设圆的标准形式，已知圆上三点常设圆的一般式．(3)涉及圆的弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距和半径构成直角三角形求解．(4)方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件为A＝B＞0，C＝0，D2＋E2－4AF＞0.考点二 与圆有关的最值问题 与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 斜率型、截距型、距离型最值问题[典例1－1] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图①)．所以的最大值为，最小值为－.图① 图② 图③(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b\n取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图②)．所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.点评：与圆有关的斜率型、截距型、距离型最值问题一般根据相应几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． 利用对称性求最值[典例1－2] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4B．－1C．6－2D．A [P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3(图略)，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)．所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.]点评：求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离．(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )A．[2,6]B．[4,8]C．[，3]D．[2，3]A [圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．]2．(2020·南宁模拟)一束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是( )A．4B．5C．5－1D．2－1\nC [根据题意，设A′与A关于x轴对称，且A(－3,2)，则A′的坐标为(－3，－2)，又由A′C＝＝5，则A′到圆C上的点的最短距离为5－1.故这束光线从点A(－3,2)出发，经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路径的长度是5－1，故选C．]考点三 与圆有关的轨迹问题 求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．[典例2] 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解] (1)法一：(直接法)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：(定义法)设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)(代入法)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．点评：此类问题在解题过程中，常因忽视对特殊点的验证而造成解题失误．1．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数λ(λ＞0，λ≠1)的点M的轨迹是圆．若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹围成区域的面积为( )A．πB．2πC．3πD．4π\nD [以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则B(3,0)．设M(x，y)，依题意有＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0，即(x－4)2＋y2＝4，则圆的面积为4π.故选D．]2．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1A [设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ中点为M(x，y)，根据中点坐标公式得，因为Q(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A．]
