选修4－4 坐标系与参数方程A级·基础过关|固根基|1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN是等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为.2．(2019年全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧．(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知，\n若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.3．设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3，4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率k＝.(2)由圆C的参数方程(θ为参数)，得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.由直线l的参数方程(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，即kx－y＋4－3k＝0.当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即<2，解得k>.所以直线l的斜率的取值范围为.4．(2020届广州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为θ＝α，直线l2的极坐标方程为θ＝α＋.(1)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．\n解：(1)由(β为参数)，消去参数β得(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－2x－2y＝2，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2将曲线M的方程化成极坐标方程得ρ2－2ρ(sinθ＋cosθ)－2＝0，∴曲线M是以(1，1)为圆心，2为半径的圆．(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，将l1与圆M的方程联立可得ρ2－2ρ(sinα＋cosα)－2＝0，∴ρ1＋ρ2＝2(sinα＋cosα)，ρ1ρ2＝－2.∴|AC|＝|ρ1－ρ2|＝＝，∴同理可得|BD|＝.∵l1⊥l2，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝.∵sin22α∈[0，1]，∴S四边形ABCD∈[4，6]．B级·素养提升|练能力|5.(2019届武汉市调研测试)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρsinθ＋3＝0，曲线C2：ρsin＋＝0.(1)求C1，C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与y轴交于A，B两点，P为C2上任一点，求|PA|＋|PB|的最小值．解：(1)由C1：ρ2－4ρsinθ＋3＝0得x2＋y2－4y＋3＝0，即C1的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋3＝0.由C2：ρsin＋＝0得ρsinθ·－ρcosθ·＋＝0，所以y－x＋1＝0，即C2的直角坐标方程为x－y－1＝0.(2)不妨取x2＋y2－4y＋3＝0与y轴的交点为A(0，3)，B(0，1)，又B(0，1)关于直线y＝x－1的对称点为B1(2，－1)，所以|PA|＋|PB|≥|AB1|＝＝2.故|PA|＋|PB|的最小值为2.6．(2020届湖北部分重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x＋y＝1，曲线C2：(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，已知l：θ＝α(ρ＞0)与C1，C2的公共点分别为A，B，α∈，当\n＝4时，求α的值．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ－1＝0.曲线C2化为普通方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2－4x＋y2＝0，因为x＝ρcosθ，x2＋y2＝ρ2，所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(2)设点A，B的极坐标分别为(ρ1，α)和(ρ2，α)，ρ1＞0，ρ2＞0.因为点A在曲线C1上，所以ρ1cosα＋ρ1sinα－1＝0，则ρ1＝，同理，点B在曲线C2上，所以ρ2＝4cosα.由极坐标的几何意义知，＝＝＝4，所以cosα(cosα＋sinα)＝1，即cos2α＋cosαsinα＝1，则cosαsinα＝sin2α.又α∈，所以sinα≠0，则cosα＝sinα，所以α＝.7．(2020届成都摸底)在平面直角坐标系xOy中，过点P(1，1)的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求＋的最小值．解：(1)∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ.由直角坐标与极坐标的互化关系ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，并整理得t2＋(2sinα－2cosα)t－2＝0.∵Δ＝(2sinα－2cosα)2＋8＞0，∴可设t1，t2是方程的两个实数根，则t1＋t2＝2cosα－2sinα，t1t2＝－2＜0.∴＋＝＋＝＝＝＝＝＝≥，当α＝时，等号成立，∴＋的最小值为.8．(2019届河南、河北、山西三省大联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l\n的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosφ，点P是曲线C1上的动点，点Q在OP的延长线上，且|PQ|＝3|OP|，点Q的轨迹为C2.(1)求直线l及曲线C2的极坐标方程；(2)若射线θ＝α与直线l交于点M，与曲线C2交于点N(N与极点不重合)，求的最大值．解：(1)消去直线l参数方程中的t，得x＋y＝4，由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得直线l的极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝4，即ρ＝.由点Q在OP的延长线上，且|PQ|＝3|OP|，得|OQ|＝4|OP|.设Q(ρ，θ)，则P，由点P是曲线C1上的动点，可得＝2cosθ，即ρ＝8cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ＝8cosθ.(2)因为直线l及曲线C2的极坐标方程分别为ρ＝，ρ＝8cosθ，所以|OM|＝，|ON|＝8cosα，所以＝2cosα(cosα＋sinα)＝1＋cos2α＋sin2α＝1＋sin.因为0<α<，所以2α＋∈，所以当2α＋＝，即α＝时，取得最大值，为＋1.
