坐标系与参数方程全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分.2.考查内容(1)参数方程、极坐标与曲线的关系；(2)由参数方程、极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程的互化问题及应用等，考查知识点较为简单和稳定. 坐标系[考试要求] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，\n叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：4．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ≤2π)圆心为(r,0)半径为r的圆ρ＝2rcosθ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsinθ(0≤θ≤π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝α＋π(θ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝a过点，与极轴平行的直线ρsinθ＝a(0＜θ＜π)一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )\n(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×二、教材习题衍生1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是( )A． B．C．(1,0)D．(1，π)B [由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.]2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤A [∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)，∴ρ＝.]3．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为．y′＝3sin2x′ [由知代入y＝sinx中得y′＝3sin2x′.]4．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为． [因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.]考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换\n 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．1．求椭圆＋y2＝1经过伸缩变换后的曲线方程．[解] 由得到 ①将①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式为φ：求a，b的值．[解] 由得代入x2＋y2＝1中得＋＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.点评：解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．考点二 极坐标系与直角坐标系的互化 1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定方法由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tanθ＝按上述方法确定．当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝\n.[典例1] (1)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ<2π)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．①求圆O和直线l的直角坐标方程；②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．(2)(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.①分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；②曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．[解] (1)①由圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，得ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ.∵∴ρ2＝x2＋y2，代入ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，得x2＋y2＝x＋y，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.由直线l：ρsin＝，得ρsinθ－ρcosθ＝1.∵∴y－x＝1.故直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.②由①知圆O与直线l的直角坐标方程，由解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，又∵θ∈(0，π)，∴点(0,1)的极坐标为.(2)①由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.②设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：\n若0≤θ≤，则2cosθ＝，解得θ＝；若≤θ≤，则2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cosθ＝，解得θ＝.综上，P的极坐标为或或或.点评：(1)极坐标与直角坐标的互化依据是x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；(2)互化时要注意前后的等价性．1．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.因为ρ2－2ρcos＝2，所以ρ2－2ρ＝2，即ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＝2.所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.2．(2020·全国卷Ⅱ)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：(θ为参数)，C2：(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[解] (1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．由C2的参数方程得x2＝t2＋＋2，y2＝t2＋－2，所以x2－y2＝4.\n故C2的普通方程为x2－y2＝4.(2)由得所以P的直角坐标为.设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，由题意得x＝＋，解得x0＝.因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝cosθ.考点三 极坐标方程的应用 曲线的极坐标方程中ρ，θ的几何意义是常考点，其中极径ρ代表点与极点的距离，极角θ代表从极轴出发逆时针旋转的角度．求解与弦长、弦长比值、角度及三角形面积等有关的问题时，需要结合图形分析几何关系．比如与弦长有关的问题，直线必须过极点，才能利用ρ的几何意义；与三角形面积有关的问题，三角形必须有一个顶点与极点重合，才能利用面积公式S＝ρ1ρ2sin|θ1－θ2|求解．破解此类题的关键点如下：(1)统一．先将曲线和直线的方程统一成极坐标方程．(2)联立．若直线经过极点，则联立直线与曲线的极坐标方程，化简求出交点的极坐标．(3)求值．由极坐标的几何意义解决问题，常见的题型如下．①过极点的直线与曲线相交于A，B两点，求弦长：|AB|＝|ρA－ρB|.②直线与曲线相交于A，B两点，求A，B与极点O构成的△AOB的面积：S＝ρAρBsin|θA－θB|.[典例2] 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积\nS＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·＝2≤2＋.当α＝－时，S取得最大值2＋.所以△OAB面积的最大值为2＋.点评：求线段的长度有两种方法．方法一，先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．方法二，直接在极坐标系下求解，设A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)，则|AB|＝；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．1．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．[解] (1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.2．在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ＝2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)求曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值．[解] (1)设P(ρ1，θ)，M(ρ2，θ)，由|OP|·|OM|＝4，\n得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝.因为M是C1上任意一点，所以ρ2sinθ＝2，即sinθ＝2，ρ1＝2sinθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，即x2＋y2－2y＝0，化为标准方程为x2＋(y－1)2＝1，则曲线C2的圆心坐标为(0,1)，半径为1，由直线ρcos＝，得ρcosθcos－ρsinθsin＝，即x－y＝2，圆心(0,1)到直线x－y＝2的距离为d＝＝，所以曲线C2上的点到直线ρcos＝距离的最大值为1＋.
