【创新设计】（全国通用）2022高考数学二轮复习专题坐标系与参数方程训练文（选修4-4）1.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最值.解 (1)化为直角坐标方程得，直线l：x－y－2＝0，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.(2)由(1)可知，曲线C是圆心为C(1，0)，半径r＝1的圆.且圆心C(1，0)到直线l的距离d＝＝＜r＝1，故直线l与曲线C相交.所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为d＋r＝，最小值为0.2.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.解 (1)∵ρcos＝1，∴ρcosθcos＋ρsinθsin＝1.又∴x＋y＝1，即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.令y＝0，则x＝2，令x＝0，则y＝，∴M(2，0)，N，∴M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为.3\n(2)MN连线的中点P的直角坐标为，直线OP的极角为θ＝，∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).3.已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程.解 (1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)点M的直角坐标为，A(1，0).故直线AM的参数方程为(t为参数).4.(2022·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α).所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.3\n5.(2022·湖南卷)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.解 (1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.3
