课时规范练6 函数的单调性与最值基础巩固组1.下列函数中,在区间(0,+∞)上递减的是( ) A.y=1x-xB.y=x2-xC.y=lnx-xD.y=ex-x2.已知函数f(x)=k(x+2),x≤0,2x+k,x>0,则“k<1”是“f(x)递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.(2020山西运城6月模拟,理10)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上递增.若实数a满足f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),则a的取值范围是( )A.12,1B.[1,2]C.12,2D.(0,2]4.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f(0)<0,则此函数的递增区间是( )A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1)D.(-3,-1]5.(2020江西上饶三模,文6)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),且函数f(x)在(-∞,0)上是减少的,a=f(-1),b=flog214,c=f(20.3),则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c6.函数y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)7.(2020辽宁大连一中6月模拟,文10)已知f(x)=2alnx+x2,若对于任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2都有f(x1)-f(x2)x1-x2>4,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1)D.(0,1]8.函数f(x)=2xx+1在区间[1,2]上的值域为 . 综合提升组9.已知函数f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,对于任意实数x1,x2,当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是( )\nA.0,13B.13,12C.0,12D.14,1310.(2020陕西西安调研)已知定义在R上的函数f(x),对任意x∈(0,π),有f(x)-f(-x)=0,且当x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,设a=f(2),b=f(-2),c=f(3),则( )A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a11.(2020江西上饶三模,理9)已知函数f(x)=-x2+2+cosx2(x∈[-π,π]),则不等式f(x+1)-f(2)>0的解集为( )A.[-π,-3)∪(1,π]B.[-π,-1)∪(3,π]C.(-3,1)D.(-1,3)12.(2020山东淄博4月模拟,12)函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有fx1+x22≤12[f(x1)+f(x2)],则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,则下列说法正确的是( )A.f(x)在[1,3]上的图像是连续不断的B.f(x2)在[1,3]上具有性质PC.若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3]D.对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有fx1+x2+x3+x44≤12[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]13.(2020山东聊城二模,14)已知f(x)=1-lnx,0<x≤1,-1+lnx,x>1,若f(a)=f(b),则1a+1b的最小值为 . 创新应用组14.(2020山西运城6月模拟,理12)已知函数f(x)=ln(x+x2+1),对任意x1∈12,2,存在x2∈12,2,使得f(x12+2x1+a)≤flnx2x2成立,则实数a的取值范围为( )A.-∞,ln22-8B.ln22-8,-54-2ln2C.ln22-8,+∞D.-∞,-54-2ln2\n15.(2020山东枣庄二模,8)已知P(m,n)是函数y=-x2-2x图像上的动点,则|4m+3n-21|的最小值是( )A.25B.21C.20D.4参考答案课时规范练6 函数的单调性与最值1.A 对于A,y1=1x在(0,+∞)上是减少的,y2=x在(0,+∞)上是增加的,则y=1x-x在(0,+∞)上是减少的;B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;选项D中,y'=ex-1,而当x∈(0,+∞)时,y'>0,所以函数y=ex-x在(0,+∞)上是增加的.2.D 若f(x)递增,则k>0且k(0+2)≤20+k,解得0<k≤1,因为“k<1”与“0<k≤1”没有包含的关系,所以充分性和必要性都不成立.3.C 由题意,f(x)为R上的偶函数,f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1),即2f(log2a)≤2f(1),所以f(|log2a|)≤f(1),由f(x)在[0,+∞)上递增,得|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,所以12≤a≤2.4.C 令g(x)=-x2-2x+3,由题意知g(x)>0,可得-3<x<1,故函数f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.根据f(0)=loga3<0,可得0<a<1,则本题求函数g(x)在(-3,1)内的递减区间.又g(x)在定义域(-3,1)内的递减区间是[-1,1),所以f(x)的递增区间为[-1,1).5.B 由题意f(x)为偶函数,c=f(20.3)=f(-20.3),b=flog214=f(-2).又因为f(x)在(-∞,0)上递减,且-2<-20.3<-1,所以flog214>f(20.3)>f(-1).故选B.6.B 函数y=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在区间(-1,+∞)上是减少的.当x=2时,y=0.根据题意,当x∈(m,n]时,ymin=0,所以m的取值范围是-1<m<2.7.B 任取x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>4,即f(x1)-f(x2)<4(x1-x2),即f(x1)-4x1<f(x2)-4x2.构造函数g(x)=f(x)-4x,由题意g(x)在(0,+∞)上是增加的,则g'(x)=f'(x)-4≥0,即2ax+2x-4≥0,化简得a≥(2-x)x.当x>0时,(2-x)x的最大值为1,故a≥1.故选B.8.1,43 ∵f(x)=2xx+1=2(x+1)-2x+1=2-2x+1,∴f(x)在区间[1,2]上是增加的,即f(x)max=f(2)=43,f(x)min=f(1)=1.故f(x)的值域是1,43.\n9.A ∵当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)是R上的减函数,∵f(x)=(1-2a)x,x≤1,logax+13,x>1,∴0<1-2a<1,0<a<1,1-2a≥13,∴0<a≤13,故选A.10.A 因为对任意x∈(0,π),f(x)-f(-x)=0,所以f(-2)=f(2).因为当x1,x2>0时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0,所以函数f(x)在区间(0,π)上是增加的.因为2<2<3,所以f(2)<f(2)<f(3),即f(2)<f(-2)<f(3),所以a<b<c.11.C 不等式f(x+1)-f(2)>0等价于f(x+1)>f(2).∵f(x)=-x2+2+cosx2(x∈[-π,π])为偶函数,且在[0,π]上递减,则不等式f(x+1)>f(2)等价于f(|x+1|)>f(2),则|x+1|<2,∴-2<x+1<2,且-π≤x+1≤π.∴不等式的解集为(-3,1).故选C.12.C 对于A,函数f(x)=x2,1≤x<3,11,x=3在[1,3]上具有性质P,但f(x)在[1,3]上的图像不连续,故A错误;对于B,f(x)=-x在[1,3]上具有性质P,但f(x2)=-x2在[1,3]上不满足性质P,故B错误;对于C,因为f(x)在x=2处取得最大值1,所以f(x)≤1,由性质P可得1=f(2)≤12[f(x)+f(4-x)],即f(x)+f(4-x)≥2,因为f(x)≤1,f(4-x)≤1,所以f(x)=1,x∈[1,3],故C正确;对于D,fx1+x2+x3+x44=fx1+x22+x3+x422≤12fx1+x22+fx3+x42≤14[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],故D错误.故选C.13.2e 因为f(x)=1-lnx,0<x≤1,-1+lnx,x>1,所以函数在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上递增.由f(a)=f(b),得1-lna=-1+lnb,0<a≤1,b>1,所以lnab=2,即ab=e2.设y=1a+1b=be2+1b,令y'=1e2-1b2=b2-e2(eb)2=0,则b=e,即函数y在(1,e]上递减,在(e,+∞)上递增,所以当b=e时,1a+1b有最小值,最小值为2e.14.A 函数f(x)=ln(x+x2+1)在定义域内递增,对任意x1∈12,2,存在x2∈12,2,使得f(x12+2x1+a)≤flnx2x2成立,即任意x1∈12,2,存在x2∈12,2,使得x12+2x1+a≤lnx2x2成立,即满足(x12+2x1+a)max≤lnx2x2max.\n令g(x1)=x12+2x1+a,对称轴方程为x1=-1,由x1∈12,2可得g(x1)max=g(2)=8+a.令h(x2)=lnx2x2,求导可得h'(x2)=1-lnx2x22,令h'(x2)=0,可得x2=e,当x2∈(0,e)时,h'(x2)>0,h(x2)递增,所以当x2∈12,2时,h(x2)max=h(2)=ln22,即8+a≤ln22.解得a≤ln22-8.15.C 函数y=-x2-2x的图像是半圆,圆心为C(-1,0),半径为r=1,如图,作直线4x+3y-21=0.∵C到直线4x+3y-21=0的距离为d=|-4+0-21|42+32=5,∴P(m,n)到直线4x+3y-21=0的距离为d'=|4m+3n-21|5,其最小值为5-1=4,∴|4m+3n-21|的最小值为5×4=20.故选C.
