课时规范练6 函数的单调性与最值一、基础巩固组1.在下列函数中,定义域是R且为增函数的函数是( )A.y=2-xB.y=xC.y=log2xD.y=-1x2.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)内有最小值,则函数g(x)=f(x)x在区间(1,+∞)内一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数3.(2022山东泰安模拟)已知函数f(x)=ax,x>1,4-a2x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.[4,8)C.(4,8)D.(1,8)4.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( )A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)5.(2022浙江金华模拟)若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]6.(2022黑龙江哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立.若a=f-12,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c7.已知函数f(x)=12-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为( )A.-2B.2C.-1D.18.(2022湖北联考)已知函数f(x)=ax2-4ax-lnx,则f(x)在区间(1,3)内不单调的一个充分不必要条件是( )A.a∈-∞,16B.a∈-12,+∞C.a∈-12,16D.a∈12,+∞〚导学号21500705〛5\n9.函数f(x)=1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为 . 10.函数f(x)=2xx+1在区间[1,2]上的值域为 . 11.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 . 12.(2022山西太原模拟)已知函数y=2x+kx-2与y=log3(x-2)在(3,+∞)内有相同的单调性,则实数k的取值范围是 .〚导学号21500706〛 二、综合提升组13.已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若∀x1∈12,3,∃x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是( )A.a≤1B.a≥1C.a≤0D.a≥014.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为( )A.0B.2C.-14D.不存在15.已知函数f(x)是奇函数,并且在R上为增函数.若当0≤θ<π2时,f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是 . 16.(2022山东潍坊模拟)已知函数f(x)=-x2+4x,x≤4,log2x,x>4,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是 . 〚导学号21500707〛三、创新应用组17.已知函数f(x)=5122x,-1≤x<1,1+4x2,x≥1,若m>n≥-1,且f(m)=f(n),则m·f(2m)的最小值为( )A.4B.2C.2D.2218.(2022四川泸州四诊)已知函数f(x)=lnxx,若关于x的不等式f2(x)+af(x)>0只有一个整数解,则实数a的取值范围是( )A.-ln33,-ln22B.-1e,-ln22C.-ln33,-ln22D.ln22,1e5\n课时规范练6 函数的单调性与最值1.B 由题意知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.D 由题意知a<1,又函数g(x)=x+ax-2a在[|a|,+∞)内为增函数,故选D.3.B 由f(x)在R上是增函数,则有a>1,4-a2>0,4-a2+2≤a,解得4≤a<8.4.B 设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.故函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴方程为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).5.D f(x)=-x2+2ax的图象的对称轴方程为x=a,要使f(x)在区间[1,2]上为减函数,必须有a≤1.因为g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上是减函数,所以a+1>1,即a>0,故0<a≤1.6.D 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,由此可得f-12=f52.由x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,知f(x)在(1,+∞)内单调递减.∵1<2<52<e,∴f(2)>f52>f(e),∴b>a>c.7.B ∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴12-x2+2mx-m2-1≥2.即f(x)的值域为[2,+∞).∵y1=12x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为[m,+∞),∴f(x)的单调递增区间为[m,+∞).故m=2.8.D 由题意知f'(x)=2ax-4a-1x,因为f(x)在区间(1,3)内不单调,所以f'(x)=2ax-4a-1x=0在区间(1,3)内有解,此方程可化为2ax2-4ax-1=0.设两根为x1,x2,则x1+x2=2,因此方程的两解不可能都大于1,从而它在区间(1,3)内只有一解.所以充要条件是(2a-4a-1)(18a-12a-1)<0,a<-12或a>16.故选D.9.2 当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值.因为f(1)=1,f(0)=2,所以函数f(x)的最大值为2.10.1,43 ∵f(x)=2xx+1=2(x+1)-2x+1=2-2x+1,∴f(x)在区间[1,2]上是增函数,即f(x)max=f(2)=43,f(x)min=f(1)=1.故f(x)的值域是1,43.11.3 因为y=13x在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.12.(-∞,-4) 由题意知y=log3(x-2)的定义域为(2,+∞),且为增函数,所以它在区间(3,+∞)内是增函数.又y=2x+kx-2=2(x-2)+4+kx-2=2+4+kx-2,且它在区间(3,+∞)内是增函数,所以4+k<0,解得k<-4.13.C 当x∈12,3时,f(x)≥2x·4x=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)单调递增,故g(x)min=22+a=4+a.依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.14.A 5\n在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图象,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图象如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.15.(-∞,1) ∵f(x)是奇函数,∴f(msinθ)+f(1-m)>0可化为f(msinθ)>-f(1-m)=f(m-1).又f(x)在R上是增函数,∴msinθ>m-1,即m(1-sinθ)<1,“当0≤θ<π2时,f(msinθ)+f(1-m)>0恒成立”等价于“当0≤θ<π2时,m(1-sinθ)<1恒成立,即m<11-sinθ恒成立”.∵0<1-sinθ≤1,∴11-sinθ≥1.∴m<1.16.(-∞,1]∪[4,+∞) 画出f(x)=-x2+4x,x≤4,log2x,x>4的图象如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+1≤2或a≥4,解得a≤1或a≥4.故实数a的取值范围是(-∞,1]∪[4,+∞).17.D 作出f(x)的函数图象如图所示.∵f(m)=f(n),m>n≥-1,∴1≤m<4.∴mf(2m)=m1+2m2=m+2m≥22.当且仅当m=2时取等号.故选D.18.A ∵f'(x)=1-lnxx2,∴f(x)在区间(0,e)内单调递增,在区间(e,+∞)内单调递减,∴f(x)≤f(e)=1e.函数f(x)的图象如图所示.①当a<0时,由不等式f2(x)+af(x)>0,得f(x)>-a>0或f(x)<0,而f(x)<0的解集为(0,1),无整数解,∴f(x)>-a>0的整数解只有一个.∵f(x)在(0,e)内递增,在(e,+∞)内递减,而2<e<3,f(2)=f(4)<f(3),∴这一个正整数解只能为3.∴f(2)≤-a<f(3),5\n∴-ln33<a≤-ln22.②当a=0时,由不等式f2(x)+af(x)>0,得f(x)≠0,解集为(0,1)∪(1,+∞),整数解有无数多个,不合题意;③当a>0时,由不等式f2(x)+af(x)>0,得f(x)>0或f(x)<-a<0,∵f(x)<-a<0的解集为(0,1),无整数解,而f(x)>0的解集为(1,+∞),整数解有无数多个,不合题意.综上可知答案为A.5
