2023高考数学一轮复习课时规范练40垂直关系文含解析北师大版202303232150

课时规范练40　垂直关系基础巩固组　　　　　　　　　　　　　　　　1.(2020陕西宝鸡三模,文8)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,E为线段CD上的一点,则“AE⊥BD”是“AE⊥平面PBD”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SC⊥AB,则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的(　　)A.内心B.外心C.垂心D.重心3.(2020河北唐山一模,理10)已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,PA⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=2,若球O的表面积为36π,则直线PC与底面ABCD所成角的余弦值为(　　)A.36B.56C.33D.534.(2020山东青岛二中检测)如图所示,AC=2R为圆O的直径,∠PCA=45°,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列不正确的是(　　)A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC5.\n如图,已知圆锥的母线长为8,底面圆的圆心为O,直径AB=8,点Q是母线PA的中点.若点C是底面圆周上一点,且直线OC与QB所成的角为30°,M在线段PA上且PA=4MA,则MC与底面所成角的正弦值为　　　　　. 6.(2020辽宁高三上学期检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,BC=BB1=4,AC=AB1=25,且∠BCC1=60°.求证:平面ABC1⊥平面BCC1B1.7.(2020河北正定中学模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥平面ABB1A1.(1)证明:BC⊥AB1;(2)若OC=2OA,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.\n综合提升组8.(2020北京延庆一模)已知直线a,b,平面α,β,α∩β=b,a∥α,a⊥b,那么“a⊥β”是“α⊥β”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.(2020湖北武汉调研)已知两个平面相互垂直,下列命题:①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线;②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中真命题的个数是(　　)A.3B.2C.1D.010.(2020北京丰台一模)已知平面α和三条不同的直线m,n,l.给出下列六个论断:①m⊥α;②m∥α;③m∥l;④n⊥α;⑤n∥α;⑥n∥l.以其中两个论断作为条件,使得m∥n成立.这两个论断可以是　　　　　.(填上你认为正确的一组序号) 11.(2019全国1,文16)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为3,那么P到平面ABC的距离为　　　　　. 12.(2020湖南五市十校联考,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,△ABC≌△SAB,∠SAB=∠ABC=90°,SA=AB=2AD=2,SD=CD=5,tan∠BCD=2.(1)求证:平面SAB⊥平面SBC;(2)求证:AD∥平面SBC.创新应用组13.(2020新高考全国1,16)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为　　　　　. \n14.(2020河北石家庄二模,文19)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图2.(1)求证:DE⊥A1C;(2)求点C到平面A1BE的距离.15.如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB,沿DE将△AED折起到△A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2.图1图2(1)求证:DE⊥A1B;(2)求证:MN∥平面A1ED;(3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出A1GGB的值;若不存在,说明理由.\n参考答案课时规范练40　垂直关系1.C　因为PD⊥平面ABCD,又AE⫋平面ABCD,所以PD⊥AE,由AE⊥BD,且PD∩BD=D,可得AE⊥平面PBD.所以“AE⊥BD”是“AE⊥平面PBD”的充分条件.又由AE⊥平面PBD,且BD⫋平面PBD,可得AE⊥BD,所以“AE⊥BD”是“AE⊥平面PBD”的必要条件.综上可得,“AE⊥BD”是“AE⊥平面PBD”的充要条件.故选C.2.C　过S作SO⊥平面ABC,垂足为O,连接AO,BO,CO.∴SO⊥BC.又SA⊥BC,SO∩SA=S,∴BC⊥平面SAO.∵AO⫋平面SAO,∴BC⊥AO.同理AC⊥BO,AB⊥CO,∴O是三角形ABC的垂心.故选C.3.B　如右图所示,∵AB=AD,BC=DC,AC=AC,∴△ABC≌△ADC,∴∠ABC=∠ADC,易知A,B,C,D四点共圆,则∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD的外接圆直径为AC=AB2+BC2=5.设四棱锥P-ABCD的外接球半径为R,则4πR2=36π,解得R=3.∵PA⊥平面ABCD,且PC=2R=6,\n直线PC与底面ABCD所成的角为∠ACP,在Rt△PAC中,cos∠ACP=ACPC=56.故选B.4.B　因为PA⊥平面ABC,PA⫋平面PAC,所以平面ABC⊥平面PAC,故D正确;又BC⫋平面ABC,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又BC⫋平面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC,故C正确;又因为AN⫋平面ABP,所以BC⊥AN.又因为AN⊥PB,BC∩PB=B,所以AN⊥平面PBC.又PC⫋平面PBC,所以AN⊥PC.又因为PC⊥AS,AS∩AN=A,所以PC⊥平面ANS.又PC⫋平面PBC,所以平面ANS⊥平面PBC,故A正确.故选B.5.32或3926　由题意知QB=PO=43,连接MO,则MO∥QB,∠MOC为异面直线OC与QB所成的角(或其补角),所以∠MOC=30°或∠MOC=150°.过M作MD⊥AO于点D,则MD⊥底面AOC,所以角MCD为直线MC与底面所成的角,PO=43,PA=4MA,所以MD=3,OM=23.当∠MOC=30°时,MC=OM2+OC2-2OM·OC·cos30°=2,所以sin∠MCD=MDMC=32,当∠MOC=150°时,MC=OM2+OC2-2OM·OC·cos150°=213,所以sin∠MCD=MDMC=3213=3926,综上,MC与底面所成角的正弦值为32或3926.6.证明在△ABC中,AB2+BC2=20=AC2,所以∠ABC=90°,即AB⊥BC.在△ABB1中,AB2+BB12=20=AB12,所以∠ABB1=90°,即AB⊥BB1.又BC∩BB1=B,所以AB⊥平面BCC1B1.又AB⫋平面ABC1,所以平面ABC1⊥平面BCC1B1.7.(1)证明在矩形ABB1A1中,由平面几何知识可知AB1⊥BD.又CO⊥平面ABB1A1,∴AB1⊥CO,CO∩BD=O,∴AB1⊥平面BCD.∵BC⫋平面BCD,∴BC⊥AB1.(2)解在矩形ABB1A1中,由平面几何知识可知OA=AB·ADBD=33,OB=63.\n∵OC=2OA,∴OC=63.∴AC=1,BC=233,∴S△ABC=23.设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,即三棱锥A1-ABC的高为h.又S△ABA1=22,由VC-ABA1=VA1-ABC,得S△ABC·h=S△ABA1·OC,∴h=62.8.C　若a∥α,则在平面α内必定存在一条直线a',使得a∥a',因为a⊥b,所以a'⊥b.若a⊥β,则a'⊥β,又a'⫋α,即可得α⊥β;反之,若α⊥β,由α∩β=b,a'⊥b,a'⫋α,可得a'⊥β,又a∥a',则有a⊥β.所以“a⊥β”是“α⊥β”的充要条件.故选C.9.C　构造正方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示,①在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⫋平面ADD1A1,BD⫋平面ABCD,但A1D与BD不垂直,故①错误;②在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,l是平面ADD1A1内任意一条直线,l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直,故②正确;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,A1D⫋平面ADD1A1,但A1D与平面ABCD不垂直,故③错误;④在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1⊥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,过交线AD上的任一点作交线的垂线l,则l可能与平面ABCD垂直,也可能与平面ABCD不垂直,故④错误.10.①④(或③⑥)　对①④,由线面垂直的性质定理可知,若m⊥α,n⊥α,则m∥n,故可填①④.对①⑤,若m⊥α,n∥α,则m⊥n;对①⑥,若m⊥α,n∥l,则无法判断m,n的位置关系;对②④,若m∥α,n⊥α,则m⊥n;对②⑤,若m∥α,n∥α,则m,n可能相交,平行或异面;对②⑥,若m∥α,n∥l,则无法判断m,n的位置关系;对③④,若m∥l,n⊥α,则无法判断m,n的位置关系;对③⑤,若m∥l,n∥α,则无法判断m,n的位置关系;对③⑥,由平行的传递性可知,若n∥l,m∥l,则m∥n,故可填③⑥.11.2　作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,\n∴CD⊥平面PDO,OD⫋平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=3,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=32,∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=2.又PC=2,∴PO=4-2=2.12.证明(1)因为∠SAB=90°,所以SA⊥AB.因为SA=2AD=2,SD=5,所以SA⊥AD.又AB∩AD=A,所以SA⊥平面ABCD.所以SA⊥BC.又∠ABC=90°,即AB⊥BC,所以BC⊥平面SAB,所以平面SAB⊥平面SBC.(2)取BC中点E,连接DE.因为△ABC≌△SAB,AB=2AD=2,所以BE=1.又CD=5,所以由余弦定理可得DE=2=AB,所以DE2+CE2=CD2,即DE⊥BC,所以四边形ABED为平行四边形,所以AD∥BC.又AD⊈平面SBC,BC⫋平面SBC,所以AD∥平面SBC.13.22π　如图所示,∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.设点O1是B1C1的中点,则O1D1=3,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1⊥O1P,∴D1P2=D1O12+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=2.即P在以O1为圆心,以2为半径的圆上.取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,∴O1E=O1F=2,O1E2+O1F2=EF2=4,∴∠EO1F=90°,\n∴交线EPF=14×22×π=22π.14.(1)证明在图1△ABC中,D,E为AC,AB边中点,所以DE∥BC.又AC⊥BC,所以DE⊥AC.在图2中,DE⊥A1D,DE⊥DC,且A1D∩DC=D,则DE⊥平面A1CD.又因为A1C⫋平面A1CD,所以DE⊥A1C.(2)解由(1)知DE⊥平面A1CD,且DE⫋平面BCDE,所以平面A1CD⊥平面BCDE,且平面A1CD∩平面BCDE=DC,在正三角形A1CD中,过A1作A1O⊥CD,垂足为O,所以A1O⊥平面BCDE.A1O即为三棱锥A1-BCE底面上的高,在△A1CD中,A1O=3.在△A1BE中,A1E=BE=22,A1B=25,所以S△A1BE=15.在梯形BCDE中,S△BCE=S△BCD=12BC·CD=4.设点C到平面A1BE的距离为h,因为VC-A1BE=VA1-BCE,所以13S△A1BE·h=13S△BCE·A1O,解得h=455.即点C到平面A1BE的距离为455.15.(1)证明由题意得DE⊥A1E,DE⊥BE.∵A1E∩BE=E,∴DE⊥平面A1BE.∵A1B⫋平面A1BE,∴DE丄A1B.(2)证明取CD中点F,连接NF,MF.∵M,N分别为A1C,BE的中点,∴MF∥A1D,NF∥DE.又DE∩A1D=D,NF∩MF=F,DE⫋平面A1DE,A1D⫋平面A1DE,NF⫋平面MNF,MF⫋平面MNF,∴平面A1DE∥平面MNF.∴MN∥平面A1ED.(3)解存在点G满足题意,A1GGB=1.证明如下:取A1B的中点G,连接EG,∵A1E=BE,∴EG⊥A1B,由(1)知DE⊥平面A1BE,∵DE∥BC,∴BC⊥平面A1BE,∴EG⊥BC,又A1B∩BC=B,\n∴EG⊥平面A1BC.故棱A1B上存在中点G,使得EG⊥平面A1BC,此时A1GGB=1.