2023高考数学一轮复习课时规范练45椭圆文含解析北师大版202303232155

课时规范练45　椭圆基础巩固组1.已知椭圆x23+y24=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形2.(2020陕西汉中高三模拟)已知椭圆x2m+y24=1(m>0)的焦距为2,则m的值等于(　　)A.5B.5或3C.3D.83.(2020广东惠州调研)设F1,F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2||PF1|的值为(　　)A.514B.59C.49D.5134.椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的一条直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2的内切圆面积为π,且A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|=(　　)A.53B.103C.203D.535.(2020北京人大附中二模,9)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=16.(2020山东济南三模,15)已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,AF2的中点P恰好落在y轴上,若BP·AF2=0,则椭圆C的离心率的值为　　　　　. 综合提升组7.(2020广西重点中学联考)已知椭圆x24+y22=1的焦点为F,短轴端点为P,若直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,则圆O的半径为(　　)A.22B.1C.2D.2\n8.已知椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=255,P为椭圆上的一个动点,则P与定点B(-1,0)连线距离的最大值为(　　)A.32B.2C.52D.39.(2020河北邢台模拟,理16)设A(-2,0),B(2,0),若直线y=ax(a>0)上存在一点P满足|PA|+|PB|=6,且△PAB的内心到x轴的距离为33020,则a=　. 10.(2020北京丰台一模)已知双曲线M:x2-y23=1的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA,OC所在直线.若椭圆N:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过A,C两点,且点B是椭圆N的一个焦点,则a=　　　　　. 11.(2020北京石景山一模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为22.直线l过点F且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(1)求椭圆C的方程;(2)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(3)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形OAPB为平行四边形,求此时直线l的斜率.12.(2020河北石家庄二模,文20)已知点A(2,0),椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,F和B分别是椭圆C的左焦点和上顶点,且△ABF的面积为32.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点A的直线l与C相交于P,Q两点,当OP·OQ=13时,求直线l的方程.\n创新应用组13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为23,点P为椭圆上一点,∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点B为椭圆的上顶点,过椭圆内一点M(0,m)的直线l交椭圆于C,D两点,若△BMC与△BMD的面积比为2∶1,求实数m的取值范围.14.(2020全国3,文21)已知椭圆C:x225+y2m2=1(0<m<5)的离心率为154,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.\n参考答案课时规范练45　椭圆1.B　由题意|MF1|+|MF2|=4,又|MF1|-|MF2|=1,联立后可解得|MF1|=52,|MF2|=32,又|F1F2|=2c=24-3=2,∵22+322=254=522,∴MF2⊥F1F2,∴△MF1F2是直角三角形.故选B.2.B　焦距2c=2,所以c=1.当m>4时,m-4=1,m=5;当0<m<4时,4-m=1,m=3.综上所述,m=5或m=3.故选B.3.D　如图,设线段PF1的中点为M,因为O为F1F2的中点,所以OM∥PF2,由题意可得PF2⊥x轴,易得|PF2|=53,|PF1|=2a-|PF2|=133,|PF2||PF1|=513.故选D.4.B　∵椭圆x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,△ABF2的内切圆的面积为π,∴△ABF2内切圆半径r=1,S△ABF2=12×1×(AB+AF2+BF2)=2a=10.∵S△ABF2=12|y1-y2|×2c=12|y1-y2|×2×3=10,∴|y1-y2|=103.故选B.5.B　(方法1)如图,由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,\n∴|AF1|=2a-|AF2|=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=4n2+9n2-9n22·2n·3n=13.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·13=4,解得n=32.∴2a=4n=23,∴a=3,∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆方程为x23+y22=1.故选B.(方法2)由已知可设|F2B|=n,则|AF2|=2n,|BF1|=|AB|=3n,由椭圆的定义有2a=|BF1|+|BF2|=4n,∴|AF1|=2a-|AF2|=2n.在△AF1F2和△BF1F2中,由余弦定理得4n2+4-2·2n·2·cos∠AF2F1=4n2,n2+4-2·n·2·cos∠BF2F1=9n2,又∠AF2F1+∠BF2F1=180°,∴cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,两式消去cos∠AF2F1,cos∠BF2F1,得3n2+6=11n2,解得n=32.∴2a=4n=23,∴a=3,∴b2=a2-c2=3-1=2,∴椭圆方程为x23+y22=1.故选B.6.33　由AF2的中点P恰好落在y轴上,可得AB过左焦点F1且AB⊥F1F2,则A-c,b2a,B-c,-b2a.因为P是AF2的中点,则P0,b22a.又F2(c,0),则BP=c,3b22a,AF2=2c,-b2a.因为BP·AF2=0,则2c2-3b42a2=0,即2c=3b2a.又b2=a2-c2,则2ac=3(a2-c2),等号左右两边同除a2,即3e2+2e-3=0,解得e=33,或e=-3(舍去).所以椭圆C的离心率的值为33.7.B　因为椭圆x24+y22=1,不妨设F(2,0),P(0,2),所以PF的方程为x+y-2=0,因为直线PF与圆O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即R=d=21+1=1.故选B.\n8.C　椭圆y2a2+x2=1(a>1)的离心率e=255,可得a2-1a=255,解得a=5,则椭圆方程为y25+x2=1.设P(cosθ,5sinθ),则P与定点B(-1,0)连线距离为(cosθ+1)2+5sin2θ=4sin2θ+2cosθ+2=6+2cosθ-4cos2θ=254-4cosθ-142≤52,当cosθ=14时,取得最大值52.故选C.9.3　设点P(x,y),点P满足|PA|+|PB|=6,则点P在椭圆x29+y25=1上.由题意可得点P为直线y=ax(a>0)与椭圆x29+y25=1的交点.联立y=ax与x29+y25=1,消去y,得x2=459a2+5,则y2=45a29a2+5.因为△APB的内心到x轴的距离为33020,所以△PAB的内切圆的半径r=33020.所以△APB的面积为12×|AB|×|y|=12×r×(|AB|+|PA|+|PB|),即|y|=52r,y2=45a29a2+5=254r2=254×2740,解得a2=3,又a>0,所以a=3.10.3+12　因为OA所在直线为双曲线x2-y23=1的渐近线,所以kOA=3,则∠AOB=60°,所以AD=AOsin60°=32,OD=AOcos60°=12,则A12,32.因为OB=2OD=1,所以椭圆N的半焦距c=1.设椭圆N的左焦点为F1,则F1(-1,0),连接AF1,由椭圆的定义可得AF1+AB=2a,即-1-122+0-322+1-122+0-322=2a,解得a=3+12.11.(1)解由已知,c=1,e=ca=22,又a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆方程为x22+y2=1.\n(2)证明设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),联立x22+y2=1,y=k(x-1)(k≠0),消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k22k2+1,因为M为线段AB的中点,所以xM=x1+x22=2k22k2+1,yM=k(xM-1)=-k2k2+1,所以kOM=yMxM=-12k,所以kOM×kl=-12k×k=-12为定值.(3)解若四边形OAPB为平行四边形,则OA+OB=OP,所以xP=x1+x2=4k22k2+1,yP=y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=-2k2k2+1,因为点P在椭圆上,所以4k22k2+12+2×-2k2k2+12=2,解得k2=12,即k=±22,所以当四边形OAPB为平行四边形时,直线l的斜率为k=±22.12.解(1)设F(-c,0)(c>0),由条件知B(0,b),所以△ABF的面积为12(2+c)·b=32,①由ca=22得a2=2c2,从而b2+c2=2c2,化简得b=c,②①②联立,解得b=c=1,从而a=2,所以椭圆C的方程为x22+y2=1;(2)当l⊥x轴时,不合题意,故设l:y=k(x-2),将y=k(x-2)代入x22+y2=1消去y,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由Δ=4(2-4k2)>0,得-22<k<22,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=8k21+2k2,x1x2=8k2-21+2k2,因为OP·OQ=13,所以x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-2)(x2-2)=(1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k2=13,从而(1+k2)8k2-21+2k2-2k28k21+2k2+4k2=13,整理得28k2=7,k=±12∈-22,22,所以直线l的方程为x+2y-2=0或x-2y-2=0.13.解(1)设|PF1|=p,|PF2|=q,由题意可得,pq=2,p2+q2=12,2a=(p+q)2=p2+q2+2pq=4,所以a=2,b2=a2-c2=4-3=1,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.(2)由题意知,直线l的斜率必存在,设为k(k≠0),设直线l的方程为y=kx+m,C(x1,y1),D(x2,y2),因为△BMC与△BMD的面积比为2∶1,所以|CM|=2|DM|,则有x1=-2x2,联立y=kx+m,x2+4y2=4,\n整理得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ>0得4k2-m2+1>0,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,由x1=-2x2可求得x2=8km4k2+1,-2x22=4m2-44k2+1,∴-2·64k2m2(4k2+1)2=4m2-44k2+1.整理得4k2=1-m29m2-1.由k2>0,4k2-m2+1>0可得1-m29m2-1>0,19<m2<1,解得13<m<1或-1<m<-13.14.解(1)由题设可得25-m25=154,得m2=2516,所以C的方程为x225+y22516=1.(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1yQ(x-5),所以|BP|=yP1+yQ2,|BQ|=1+yQ2.因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故△AP1Q1的面积为12×102×10=52.|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故△AP2Q2的面积为12×13026×130=52.综上,△APQ的面积为52.