课时规范练12 函数与方程 基础巩固组1.下列图象表示的函数中,能用二分法求零点的是( )2.(2020湖南十三校联考)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,g(x)=[x]为取整函数,x0是函数f(x)=lnx-2x的零点,则g(x0)等于( )A.1B.2C.3D.43.函数f(x)=ln(2x)-1的零点位于区间( )A.(2,3)B.(3,4)C.(0,1)D.(1,2)4.(2020湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)=2|x|,x≤1,x2-3x+3,x>1,若关于x的方程f(x)=2a(a∈R)恰好有两个不同的实根,则实数a的取值范围为( )A.12,1B.12C.38,12∪(1,+∞)D.R5.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数,若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点,则实数λ的值是( )A.14B.18C.-78D.-386.(2020山东历城二中模拟四,9改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数,在(-∞,0)上单调递减,且f(-3)·f(6)<0,那么下列结论中正确的是( )A.f(x)可能有三个零点B.f(3)·f(-4)≥0C.f(-4)>f(6)D.f(0)<f(-6)7.已知函数f(x)=-ex,x≤0,lnx,x>0(e为自然对数的底数),若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实根,则a的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(-1,1)C.(0,1]D.(-∞,1)\n8.(2020山东济宁三模,12)已知直线y=-x+2分别与函数y=ex和y=lnx的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列结论错误的是( )A.x1+x2=2B.ex1+ex2>2eC.x1lnx2+x2lnx1<0D.x1x2>e29.已知函数f(x)=|x|,x≤m,x2-2mx+4m,x>m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 . 综合提升组10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2.令g(x)=f(x)-kx-k,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=0有4个不相等实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.0,12C.0,14D.14,1311.(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+∞),对于定义域内任意x,f([f(x)-log2x])=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为( )A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)12.已知函数f(x)=2-x-1,x≤0,f(x-1),x>0,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围为( )A.(-∞,0]B.[0,1)C.(-∞,1)D.[0,+∞)13.(2020安徽安庆二模,理12)函数f(x)=|lnx|-ax恰有两个零点x1,x2,且x1<x2,则x1所在区间为( )A.0,1e3B.1e3,1e2C.1e2,1eD.1e,114.(2020天津和平区一模,15)已知函数f(x)=1-|x+1|,x∈[-2,0],2f(x-2),x∈(0,+∞),则3logf(3)256= ;若方程f(x)=x+a在区间[-2,4]有三个不等实根,则实数1a的取值范围为 . \n创新应用组15.(2020河南实验中学4月模拟,12)已知函数f(x)=-x2+2x,x≥0,x2-2x,x<0,若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解,则实数a的最大值为( )A.2B.3C.5D.816.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.13C.12D.1参考答案课时规范练12 函数与方程1.C A中图象表示的函数没有零点,因此不能用二分法求零点;B中函数的图象不连续;D中函数在x轴下方没有图象.故选C.2.B 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-23>0,所以x0∈(2,3),所以g(x0)=[x0]=2.3.D ∵f(x)=ln(2x)-1是增函数,且是连续函数,f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln4-1>0,∴根据函数零点的存在性定理可得,函数f(x)的零点位于区间(1,2)上.4.C 作出函数f(x)的图象如图,因为关于x的方程f(x)=2a恰好有两个不同的实数根,所以y=2a与函数y=f(x)的图象恰有两个交点,所以2a>2或34<2a≤1,解得a>1或38<a≤12.5.C 令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,则f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),因为f(x)是R上的单调函数,所以2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0只有一个实根,则Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-78.6.A 因为f(x)是定义域为R的偶函数,又f(-3)·f(6)<0,所以f(3)·f(6)<0.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点,且f(3)<0,f(6)>0.\n所以函数f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有两个零点.但是f(0)的值没有确定,所以函数f(x)可能有三个零点,所以A项正确;又f(-4)=f(4),4∈(3,6),所以f(-4)的符号不确定,所以B项不正确;C项显然不正确;由于f(0)的值没有确定,所以f(0)与f(-6)的大小关系不确定,所以D项不正确.故选A.7.C 画出函数f(x)的图象如图所示,若关于x的方程f(x)+a=0有两个不相等的实根,则函数f(x)的图象与直线y=-a有两个不同交点,由图可知-1≤-a<0,所以0<a≤1.故选C.8.D 因为函数y=ex与y=lnx互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2与直线y=x垂直,且交点为(1,1),则点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,所以x1+x2=2,故选项A正确;ex1+ex2≥2ex1ex2=2ex1+x2=2e2=2e,由题意x1≠x2,所以ex1≠ex2,所以ex1+ex2>2e,故选项B正确;因为点(1,1)为A(x1,y1),B(x2,y2)的中点,不妨设x1<1<x2,所以x1lnx2+x2lnx1<x2lnx2+x2lnx1=x2(lnx2+lnx1)=x2ln(x1x2)<x2lnx1+x222=x2ln1=0,故选项C正确;因为x1+x2>2x1x2,则x1x2<x1+x222=1,所以x1x2>e2错误,故选项D错误.故选D.9.(3,+∞) 在同一坐标系中,作y=f(x)与y=b的图象.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3,即m的取值范围为(3,+∞).10.-4 0,14 当x∈[1,e]时,f(x)=lnx,f(x)为递增函数,所以,f(x)min=f(1)=ln1=0,当x∈[-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x2-6x,令f'(x)=0,得x=1(舍)或0,则f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,因为f(-1)=-2-3+1=-4<f(1),故函数f(x)在[-1,e]上的最小值为-4.令t=f(x),g(x)=0,则t2-t=-a,\n作出函数y=f(x)的图象如图所示,直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0<t<1,即说明方程t2-t=-a在(0,1)内有两个不等根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点,因为y=t2-t=t-122-14,根据y=t2-t的图象可知,-14<a<0,即实数a的取值范围为0,14.11.C 令g(x)=0,得f(x)=k(x+1).由题意知f(x)的周期为T=2,作出y=f(x)在[-1,3]上的图象,如图所示.设直线y=k1(x+1)经过点(3,1),则k1=14.因为直线y=k(x+1)经过定点(-1,0),且由题意知直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点,所以0<k≤14.12.C 因为f(x)在(0,+∞)上为单调函数,且f([f(x)-log2x])=3,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,所以f(t)=log2t+t=3,得t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5.因为g(3)<0,g(4)>0,所以零点所在的区间为(3,4).故选C.13.C 当x>0时,f(x)=f(x-1),所以f(x)是以1为周期的函数.又当0<x≤1时,x-1≤0,所以f(x)=f(x-1)=21-x-1=212x-1.方程f(x)=x+a的根的个数可看成是两个函数y=f(x)与y=x+a的图象的交点的个数,画出函数的图象,如图所示,由图象可知实数a的取值范围是(-∞,1).14.D 当a<0时,f(x)>0恒成立,不符合题意,当a=0时,f(x)=|lnx|只有一个零点为1,也不符合题意,当a>0时,作函数g(x)=|lnx|与h(x)=ax图象,\n易知g(x)与h(x)图象在区间(0,1)上必有一个交点,则在区间(1,+∞)上有且仅有一个公共点,当x∈(1,+∞)时,f(x)=lnx-ax,f'(x)=1-axx,f(x)在0,1a上单调递增,在1a,+∞上单调递减,所以f(x)max=f1a=ln1a-1,则只需ln1a-1=0,故a=1e,当x∈(0,1)时,f(x)=-lnx-1ex,易知f1e=1-1e2>0,f(1)=-1e<0,可知x1∈1e,1,故选D.15.81 -∞,-12∪{1} ∵f(x)=1-|x+1|,x∈[-2,0],2f(x-2),x∈(0,+∞),∴f(3)=2f(1)=4f(-1)=4×(1-|-1+1|)=4.∴logf(3)256=log2228=82=4,3logf(3)256=34=81.若x∈[0,2],则-2≤x-2≤0,∴f(x)=2f(x-2)=2(1-|x-2+1|)=2-2|x-1|,0≤x≤2.若x∈(2,4],则0<x-2≤2,∴f(x)=2f(x-2)=2(2-2|x-2-1|)=4-4|x-3|,2<x≤4.∴f(1)=2,f(2)=0,f(3)=4.设y=f(x)和y=x+a,则方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不等实根,等价为函数y=f(x)和y=x+a在区间[-2,4]内有3个不同的零点.作出函数f(x)和y=x+a的图象,如图所示,当直线经过点A(2,0)时,两个图象有2个交点,此时直线为y=x-2,当直线经过点O(0,0)时,两个图象有4个交点,此时直线为y=x,当直线经过点B(3,4)和C(1,2)时,两个图象有3个交点,此时直线为y=x+1,∴要使方程f(x)=x+a在区间[-2,4]内有3个不等实根,则a=1或-2<a<0.故实数1a的取值范围为{1}∪-∞,-12.\n16.D 作函数f(x)图象,如图所示,由[f(x)]2+af(x)<0,得f(x)[f(x)+a]<0,当a>0时,-a<f(x)<0,由于关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解,因此其整数解为3,又f(3)=-9+6=-3,所以-a<-3<0,-a≥f(4)=-8,则3<a≤8.当a=0时,[f(x)]2<0,则a=0不满足题意;当a<0时,0<f(x)<-a,当0<-a≤1时,0<f(x)<-a,没有整数解,当-a>1时,0<f(x)<-a,至少有两个整数解,综上,实数a的最大值为8,故选D.17.C (方法1)∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.(方法2)函数的零点满足x2-2x=-a(ex-1+e-x+1)=-aex-1+1ex-1,设g(x)=ex-1+1ex-1,令t=ex-1>0,则y=t+1t在(0,1)单调递减,在[1,+∞)单调递增,即g(x)=ex-1+1ex-1在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,ymin=2,设h(x)=x2-2x,当x=1时,h(x)min=-1,若-a>0,函数h(x)与-ag(x)有两个交点,不合题意.当-a<0时,-ag(x)的最大值为-2a,当-2a=h(x)min=-1,两个函数有一个交点,解得a=12.
