课时规范练12 函数与方程一、基础巩固组1.(2022北京房山区一模)由表格中的数据可以判定函数f(x)=lnx-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为( )x12345lnx00.691.101.391.61x-2-10123A.1B.2C.3D.42.(2022湖南师大附中模拟)设f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在( )A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定3.(2022广东七校联考)已知函数f(x)=15x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且x0<x1,则f(x1)的值( )A.恒为负B.等于零C.恒为正D.不大于零4.已知x0是f(x)=12x+1x的一个零点,x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0),则( )A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)>0,f(x2)>0C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)<0,f(x2)>05.若f(x)是奇函数,且x0是y=f(x)+ex的一个零点,则-x0一定是下列哪个函数的零点( )A.y=f(-x)ex-1B.y=f(x)e-x+1C.y=exf(x)-1D.y=exf(x)+16.已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)7.若a是方程2lnx-3=-x的解,则a在下列哪个区间内( )A.(0,1)B.(3,4)C.(2,3)D.(1,2)8.(2022湖北武汉二月调考)若函数f(x)=aex-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是( )A.-∞,1e5\nB.0,1eC.(-∞,0)D.(0,+∞)9.已知g(x)=x+e2x-m(x>0,其中e表示自然对数的底数).若g(x)在(0,+∞)内有零点,则m的取值范围是 . 10.已知函数f(x)=log2(x+1),x>0,-x2-2x,x≤0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是 . 11.已知函数f(x)=|x2+2x-1|,x≤0,2x-1+a,x>0有两个不同的零点,则实数a的取值范围为 . 12.(2022北京东城区二模,理14)已知函数f(x)=|x-1|,x∈(0,2],min{|x-1|,|x-3|},x∈(2,4],min{|x-3|,|x-5|},x∈(4,+∞).若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是 .〚导学号21500712〛 二、综合提升组13.(2022江西南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2016x+log2016x,则函数f(x)的零点个数是( )A.1B.2C.3D.414.(2022江西赣州一模,理10)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是( )A.1<x1<2,x1+x2<2B.1<x1<2,x1+x2<1C.x1>1,x1+x2<2D.x1>1,x1+x2<115.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在[0,2]上为增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为( )A.8B.-8C.0D.-4三、创新应用组16.(2022山东,理10)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2]∪[23,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)17.(2022全国Ⅲ,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-12B.13C.12D.1〚导学号21500713〛5\n课时规范练12 函数与方程1.C 当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,∵f(3)f(4)<0,∴函数的零点在区间(3,4)上,∴k=3,故选C.2.B 由f(1.25)<0,f(1.5)>0可得方程f(x)=0的根落在区间(1.25,1.5)内,故选B.3.A f(x)=15x-log3x在(0,+∞)内递减,若f(x0)=0,则当x0<x1时,一定有f(x1)<0,故选A.4.C 如图,在同一坐标系下作出函数y=12x,y=-1x的图象,由图象可知当x∈(-∞,x0)时,12x>-1x,当x∈(x0,0)时,12x<-1x,所以当x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,0)时,有f(x1)>0,f(x2)<0,选C.5.C 由已知可得f(x0)=-ex0,则e-x0·f(x0)=-1,e-x0f(-x0)=1,故-x0一定是y=exf(x)-1的零点.6.D 画出函数f(x)的图象如图所示,观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,此时需满足0<a<1,故选D.7.D 令f(x)=2lnx-3+x,则函数f(x)在(0,+∞)内递增,且f(1)=-2<0,f(2)=2ln2-1=ln4-1>0,所以函数f(x)在(1,2)内有零点,即a在区间(1,2)内.8.D 函数f(x)=aex-x-2a的导函数为f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调,不可能有两个零点;当a>0时,令f'(x)=0,得x=ln1a,函数在-∞,ln1a递减,在ln1a,+∞递增,所以f(x)的最小值为fln1a=1-ln1a-2a=1+lna-2a.令g(a)=1+lna-2a(a>0),g'(a)=1a-2,a∈0,12,g(a)递增,a∈12,+∞,g(a)递减,所以g(a)max=g12=-ln2<0,所以f(x)的最小值为fln1a<0,函数f(x)=aex-x-2a有两个零点.综上,实数a的取值范围是(0,+∞),故选D.9.m≥2e 由g(x)=0,得x2-mx+e2=0,x>0,所以m2>0,Δ=m2-4e2≥0,解得m>0,m≥2e或m≤-2e,故m≥2e.10.(0,1) 因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).5\n11.-∞,-12 由于当x≤0时,f(x)=|x2+2x-1|的图象与x轴只有1个交点,即只有1个零点,故由题意知只需方程2x-1+a=0有1个正根即可,变形为2x=-2a,结合图形(图略)得-2a>1⇒a<-12.12.(-4,-2)∪(2,4) 化简函数f(x)的表达式,得f(x)=|x-1|,x∈(0,2],|x-3|,x∈(2,4],|x-5|,x∈(4,+∞).作出f(x)的图象如图所示.∵关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,∴将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点,∴2<|T|<4,即-4<T<-2或2<T<4.故答案为(-4,-2)∪(2,4).13.C 作出函数y=2016x和y=-log2016x的图象如图所示,可知函数f(x)=2016x+log2016x在x∈(0,+∞)内存在一个零点.∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)在x∈(-∞,0)内只有一个零点.又f(0)=0,∴函数f(x)的零点个数是3,故选C.14.A 函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1),在同一坐标系中画出y=|2x-2|与y=-b的图象(如下),可知1<x1<2.当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x1+x2<2.15.B ∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.∴函数图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.∵f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)在[-2,0]上为增函数,综上条件得函数f(x)的示意图如图所示.5\n由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.16.B 由已知得函数y=x+m在[0,1]上是增函数,其最小值为m,最大值为1+m,又因为m>0,故①当0<m≤1时,1m≥1,所以函数y=(mx-1)2在[0,1]上是减函数,其最大值为1,最小值为(m-1)2,依题意得0<m≤1,1+m>(m-1)2⇒0<m≤1,0<m<3⇒0<m≤1,②当m>1时,0<1m<1,函数y=(mx-1)2在区间0,1m上递减,在区间1m,1上递增,依题意得m>1,1+m≤(m-1)2⇒m>1,m≤0或m≥3⇒m≥3,综上可得m的取值范围是(0,1]∪[3,+∞).故选B.17.C ∵f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),∴f(2-x)=f(x),即x=1为f(x)图象的对称轴.∵f(x)有唯一零点,∴f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.5
