课后限时集训(八) 函数及其表示建议用时：25分钟一、选择题1．函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )A．B．C．(－1,0)∪D．(－∞，－1)∪D [由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.]2．(多选)(2020·浙江杭州月考)下列说法正确的是( )A．f(x)＝与g(x)＝表示同一函数B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数D．若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0BC [对于A，由于函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝的定义域是R，所以二者不是同一函数，故错误；对于B，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，若x＝1是y＝f(x)定义域内的值，则由函数的定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，故y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点，故正确；对于C，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数，故正确；对于D，由于f＝－＝0，所以f＝f(0)＝1，故错误．综上可知，选BC.]3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( )A．x＋1B．2x－1C．－x＋1D．x＋1或－x－1A [设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2，∴k2＝1，kb＋b＝2.解得k＝－1时，b无解，k＝1时，b＝1，所以f(x)＝x＋1.故选A.]4．已知函数f(x)＝且f(x0)＝1，则x0＝( )\nA．0B．4C．0或4D．1或3C [当x0≤1时，由f(x0)＝2＝1，得x0＝0(满足x0≤1)；当x0＞1时，由f(x0)＝log3(x0－1)＝1，得x0－1＝3，则x0＝4(满足x0＞1)，故选C.]5．(多选)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0且a≠1)，若g(2)＝a，则下列结论正确的是( )A．a的值为2B．函数f(x)的解析式为f(x)＝a－x－axC．函数g(x)的解析式为g(x)＝2D．函数f(x2＋2x)的单调递增区间为(－1，＋∞)ACD [依题意得f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2①，f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2＝－f(x)＋g(x)②，①－②得f(x)＝ax－a－x，g(x)＝2.又g(2)＝a，所以a＝2，f(x)＝2x－2－x，f(x)在R上单调递增．所以函数f(x2＋2x)的单调递增区间为(－1，＋∞)．故选ACD.]6．(2020·潍坊模拟)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝( )A．1B．C．D．D [f＝3×－b＝－b，若－b＜1，即b＞时，则f＝f＝3－b＝4，解得b＝，不符合题意舍去．若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝，符合题意．故选D.]二、填空题7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)231 x123g(x)321\n则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是________．1 2 [∵g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(2)＝2，不满足f[g(x)]＞g[f(x)]；当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足f[g(x)]＞g[f(x)]；当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足f[g(x)]＞g[f(x)]，∴当x＝2时，f[g(x)]＞g[f(x)]成立．]8．已知函数f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是____．{x|－1≤x≤1} [由题意得或即或解得－1≤x＜或≤x≤1，即－1≤x≤1.]9．(2020·泰安模拟)已知函数f(x)＝，则函数的定义域为________．(－∞，－1)∪(－1,1) [由2x－4x＞0得2x＜1，解得x＜0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)．若函数有意义，则解得x＜1且x≠－1，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．]三、解答题10.设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．[解] (1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得解得所以f(x)＝(2)函数f(x)的图象如图所示．\n11．行驶中的汽车在刹车时由于惯性，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次试验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．(1)求出y关于x的函数解析式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m，求行驶的最大速度．[解] (1)由题意及函数图象，得解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70km/h.1．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，C为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是( )A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16D [由题意知A＞4，从而f(4)＝＝30，解得C＝60，又f(A)＝＝15，解得A＝16，故选D.]2．(多选)(2020·山东菏泽一中月考)设函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是( )A．f(x)＝x2B．f(x)＝\nC．f(x)＝ln(2x＋3)D．f(x)＝2x＋3BCD [函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．对于选项A，函数f(x)＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；对于选项B，函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；对于选项C，函数f(x)＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；对于选项D，函数f(x)＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意．故选BCD.]3．设函数f(x)对x≠0的一切实数均有f(x)＋2f＝3x，则f(2021)＝________.－2019 [法一：分别令x＝1和x＝2021得解得f(2021)＝－2019.法二：由f(x)＋2f＝3x，得f＋2f(x)＝，解方程组得f(x)＝－x，∴f(2021)＝－2021＝－2019.]4．已知函数f(x)＝则f(f(－2))＝________，若f(f(a))＝4，则a＝________.2 ±1 [f(－2)＝－(－2)2－2×(－2)＋1＝1，则f(f(－2))＝f(1)＝21＝2.令m＝f(a)，则f(m)＝4，当m＞0时，由2m＝4，解得m＝2，当m≤0时，－m2－2m＋1＝4，即m2＋2m＋3＝0.此方程无实数解．故f(a)＝2，当a＞0时，由2a＝2，解得a＝1.当a＜0时，由－a2－2a＋1＝2，解得a＝－1，综上知a＝±1.]
