课后限时集训(四十七) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时：40分钟一、选择题1．直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是( )A．B．C．－D．－A [设直线l的斜率为k，则k＝－＝.]2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2D [直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2.]3.若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为( )A．－2B．2C．－D．D [因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，解得m＝.故选D.]4．直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为( )A．－B．－3C．D．3[答案] A5．(多选)(2020·青岛期中)若直线过点A\n(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0D．x－y－1＝0ABC [当直线经过原点时，斜率为k0＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k，或1＋2＝k，求得k＝－1，或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0，或x＋y－3＝0.综上可知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]6．(多选)下列说法正确的是( )A．直线x－y－2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B．点(0,2)关于直线y＝x＋1的对称点为(1,1)C．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的直线方程为＝D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0AB [选项A中，直线在x轴和y轴上的截距分别为2，－2，所以围成三角形的面积是2，所以A正确；选项B中，点在直线y＝x＋1上，且点(0,2)，(1,1)连线的斜率为－1，所以B正确；选项C，需要条件y2≠y1，x2≠x1，故C错误；选项D，还有一条横、纵截距都为0的直线y＝x满足条件，故D错误．]二、填空题7．直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点________．(－1，－2) [kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．]8．(2021·全国统一考试模拟演练)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________．，－3 [设正方形的对角线倾斜角为α，则tanα＝2，所以正方形的两个邻边的倾斜角为α＋，α－，tan＝＝－3，tan＝＝＝，则正方形的两个邻边的斜率为－3，.]9．若直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________．\n [因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，则kPA＝＝－5，kPB＝＝－.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.]三、解答题10．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：(1)过定点A(－3,4)；(2)斜率为.[解] (1)由题意知，直线l存在斜率．设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，由已知，得(3k＋4)＝±6，解得k1＝－或k2＝－.故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，由已知，得|－6b|·|b|＝6，∴b＝±1.∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.11．过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解] 设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.\n(1)＋＝1≥2＝，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.1．直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )A.B．C.D．B [由题意知，直线的斜率k＝2cosα，又≤α≤，所以≤cosα≤，即1≤k≤，设直线的倾斜角为θ，则1≤tanθ≤，故θ∈.]2．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．4x－3y－4＝0 [由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tanα＝，所以直线l的斜率k＝tan2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.]\n3．(1)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，求点P的横坐标的取值范围；(2)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，求|PA|·|PB|的最大值．[解] (1)由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1.所以－1≤x0≤－.(2)由动直线x＋my＝0求得定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点B(1,3)．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为·m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
