第2讲法拉第电磁感应定律自感图9－2－101．如图9－2－10所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和棒的电阻，那么流过金属棒中的电流为( )A．I＝B．I＝C．I＝D．I＝解析：(1)导体棒匀速运动，所以平均感应电动势的大小等于瞬间感应电动势的大小．(2)题中L的有效长度为，故E＝Bv.据闭合电路欧姆定律得I＝.答案：B2.图9－2－11(2022·陕西省西安市统考)如图9－2－11所示，Q是单匝金属线圈，MN是一个螺线管，它的绕线方法没有画出，Q的输出端a、b和MN的输入端c、d之间用导线相连，P是在MN的正下方水平放置的用细导线绕制的软弹簧线圈．假设在Q所处的空间加上与环面垂直的变化磁场，发现在t1至t2时间段内弹簧线圈处于收缩状态，那么所加磁场的磁感应强度的变化情况可能是( )解析：在t1至t210/10\n时间段内弹簧线圈处于收缩状态，说明此段时间内穿过线圈的磁通量变大，即穿过线圈的磁场的磁感应强度变大，那么螺线管中电流变大，单匝金属线圈Q产生的感应电动势变大，所加磁场的磁感应强度的变化率变大，即B—t图线的斜率变大，选项D正确．答案：D图9－2－123．(2022·全国Ⅱ，24)如图9－2－12所示，匀强磁场的磁感应强度方向垂直于纸面向里，大小随时间的变化率＝k，k为负的常量．用电阻率为ρ、横截面积为S的硬导线做成一边长为l的方框．将方框固定于纸面内，其右半局部位于磁场区域中，求：(1)导线中感应电流的大小；(2)磁场对方框作用力的大小随时间的变化率．解析：(1)导线框的感应电动势为E＝①ΔΦ＝l2ΔB②导线框中的电流为I＝③式中R是导线框的电阻，根据电阻率公式有R＝ρ④联立①②③④式，将＝k代入得I＝.⑤(2)导线框所受磁场的作用力的大小为F＝BIl⑥它随时间的变化率为＝Il⑦由⑤⑦式得＝.⑧答案：(1) (2)10/10\n图9－2－134．如图9－2－13所示，在一倾角为37°的粗糙绝缘斜面上，静止地放置着一个匝数n＝10匝的圆形线圈，其总电阻R＝3.14Ω、总质量m＝0.4kg、半径r＝0.4m．如果向下轻推一下此线圈，那么它刚好可沿斜面匀速下滑．现在将线圈静止放在斜面上后．在线圈的水平直径以下的区域中，加上垂直斜面方向的，磁感应强度大小按如图9－2－14所示规律变化的磁场(提示：通电半圆导线受的安培力与长为直径的直导线通同样大小的电流时受的安培力相等)问：(1)刚加上磁场时线圈中的感应电流大小I＝？(2)从加上磁场开场到线圈刚要运动，线圈中产生的热量Q＝？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2.)解析：(1)由闭合电路的欧姆定律I＝，由法拉第电磁感应定律E＝n，由图得，＝0.5T/s，S＝πr2.联立解得I＝0.4A.(2)设线圈开场能匀速滑动时受的滑动摩擦力为Ff，那么mgsin37°＝Ff加变化磁场后线圈刚要运动时nBIL＝mgsin37°＋Ff，其中L＝2r，由图象知B＝B0＋kt＝1＋0.5t，由焦耳定律Q＝I2Rt，联立解得Q＝0.5J.答案：(1)0.4A (2)0.5J5.图9－2－14在国庆焰火联欢晚会中，天空中出现了如图9－2－14所示的雪域天路巨幅烟花画，现场观众均为我国交通运输的开展而兴高采烈．铁路运输的原理是：将能够产生匀强磁场的磁铁安装在火车首节车厢的下面，如图9－2－16甲(俯视图)所示，当它经过安放在两铁轨之间的矩形线圈时，线圈会产生一个电信号传输给控制中心．已知矩形线圈的长为L1，宽为L2，匝数为n.假设安装在火车首节车厢下面的磁铁产生的匀强磁场的宽度大于L2，当火车通过安放在两铁轨之间的矩形线圈时，控制中心接收到线圈两端的电压信号u随时间t变化的关系如图9－2－15乙所示．不计线圈电阻，据此计算：图9－2－15(1)火车的加速度；(2)火车在t1～t2时间内的平均速度和安装在火车首节车厢下面的磁铁产生的匀强磁场宽度．解析：(1)根据法拉第电磁感应定律可知，线圈中产生的感应电动势E＝nBL2v不计线圈电阻，t1时刻线圈两端电压u1＝nBL2v1，t2时刻线圈两端电压u2＝nBL2v2那么火车的加速度a＝(v2－v1)/(t2－t1)，联立解得a＝.10/10\n(2)由于火车做匀加速运动，火车在t1～t2时间内的平均速度v＝(v2＋v1)/2＝，安装在火车首节车厢下面的磁铁产生的匀强磁场的宽度D＝v(t2－t1)＝(t2－t1)．答案：(1) (2)(t2－t1)1．以下关于感应电动势大小的说法中，正确的选项是( )A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大B．线圈中磁通量越大，产生的感应电动势一定越大C．线圈放在磁感应强度越强的地方，产生的感应电动势一定越大D．线圈中磁通量变化越快，产生的感应电动势越大解析：由法拉第电磁感应定律E＝n知，感应电动势与磁通量的变化率成正比，与磁通量的大小、磁通量的变化和磁感应强度无关，故只有D项正确．答案：D图9－2－162．如图9－2－16中半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场B中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，那么通过电阻R的电流的大小和方向是(金属圆盘的电阻不计)( )A．由c到d，I＝Br2ω/RB．由d到c，I＝Br2ω/RC．由c到d，I＝Br2ω/(2R)D．由d到c，I＝Br2ω/(2R)解析：金属圆盘在匀强磁场中匀速转动，可以等效为无数根长为r的导体棒绕O点做匀速圆周运动，其产生的感应电动势大小为E＝Br2ω/2，由右手定那么可知其方向由外指向圆心，故通过电阻R的电流I＝Br2ω/(2R)，方向由d到c，应选D项．答案：D图9－2－173．(2022·山东，2)如图9－2－17所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路．虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面．回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直．从D点到达边界开场到C点进入磁场为止，以下结论正确的选项是( )10/10\nA．感应电流方向不变B．CD段直导线始终不受安培力C．感应电动势最大值Em＝BavD．感应电动势平均值＝πBav解析：根据楞次定律可判定闭合回路中产生的感应电流方向始终不变，A项正确；CD段电流方向是D指向C，根据左手定那么可知，CD段受到安培力，且方向竖直向下，B项错；当有一半进入磁场时，产生的感应电流最大，Em＝Bav，C项对；由法拉第电磁感应定律得＝＝，D项也对．答案：ACD4.图9－2－18如图9－2－18所示，多匝电感线圈L的电阻不计，两个电阻的阻值都是R，电键S原来翻开，通过电源的电流I0＝，合上电键，线圈中有自感电动势，这个电动势将( )A．有阻碍电流的作用，最后电流由I0减小到零B．有阻碍电流的作用，最后电流小于I0C．有阻碍电流增大的作用，因而电流I0保持不变D．有阻碍电流增大的作用，但最后电流还是增大到2I0答案：D图9－2－195．在匀强磁场中，有一个接有电容器的单匝导线回路，如图9－2－19所示，已知C＝30μF，L1＝5cm，L2＝8cm，磁场以5×10－2T/s的速率增加，那么( )A．电容器上极板带正电，带电荷量为6×10－5CB．电容器上极板带负电，带电荷量为6×10－5CC．电容器上极板带正电，带电荷量为6×10－9CD．电容器上极板带负电，带电荷量为6×10－9C解析：电容器两极板间的电势差U等于感应电动势E，由法拉第电磁感应定律，可得E＝·L1L2＝2×10－4V，电容器的带电荷量Q＝CU＝CE＝6×10－10/10\n9C，再由楞次定律可知上极板的电势高，带正电，C项正确．答案：C图9－2－206．如图9－2－20甲所示，固定在水平桌面上的光滑金属框架cdeg处于方向竖直向下的匀强磁场中，金属杆ab与金属框架接触良好．在两根导轨的端点d、e之间连接一电阻R，其他局部电阻忽略不计．现用一水平向右的外力F作用在金属杆ab上，使金属杆由静止开场向右在框架上滑动，运动中杆ab始终垂直于框架．图乙为一段时间内金属杆中的电流I随时间t的变化关系图象，那么以下选项中可以表示外力F随时间t变化关系的图象是( )解析：金属杆由静止开场向右在框架上滑动，金属杆切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，在回路内产生感应电流I＝E/R＝BLv/R.由题图乙金属杆中的电流I随时间t均匀增大可知金属杆做初速度为零的匀加速运动，I＝BLat/R.由安培力公式可知金属杆所受安培力F安＝BIL，根据牛顿第二定律F－F安＝ma可得外力F＝ma＋BIL＝ma＋B2L2at/R，所以正确选项是B.答案：B图9－2－217．如图9－2－21所示在虚线空间内有一对彼此平行的金属导轨，宽为L，与水平面的夹角为θ，导轨电阻不计，在虚线空间内同时分布着垂直导轨平面向上的磁感应强度为B的匀强磁场．导轨的下端接一定值电阻R，上端通过导线与一对竖直放置的平行金属板相连接，两板间距为d，其间固定着一光滑绝缘直杆，它与水平面也成θ角，杆上套一带电小球．当一电阻也为R的光滑导体棒ab沿导轨以速度v匀速下滑时，小球恰好静止在绝缘直杆上．那么由此可以判断小球的电性并能求出其荷质比为( )A．正电荷，2dgtanθ/BLvcosθB．正电荷，2dgtanθ/BLvC．负电荷，2dgtanθ/BLvcosθD．负电荷，2dgtanθ/BLv解析：杆切割磁感线产生的感应电动势为BLv，所以U＝BLv/2，对球：qU/d＝mgtanθ，联立得q/m＝2dgtanθ/BLv，故正确答案为B.答案：B图9－2－2210/10\n8．(2022·郑州调研)如图9－2－22(甲)所示，面积S＝0.2m2的线圈，匝数n＝630匝，总电阻r＝1.0Ω，线圈处在变化的磁场中，设磁场垂直纸面向外为正方向，磁感应强度B随时间t按图(乙)所示规律变化，方向垂直线圈平面，图(甲)中传感器可看成一个纯电阻R，并标有“3V、0.9W”，滑动变阻器R0上标有“10Ω，1A”，那么以下说法正确的选项是( )A．电流表的电流方向向左B．为了保证电路的平安，电路中允许通过的最大电流为1AC．线圈中产生的感应电动势随时间在变化D．假设滑动变阻器的滑片置于最左端，为了保证电路的平安，图9－2－23(乙)中的t0最小值为40s解析：由楞次定律可知：电流表的电流方向向右；又传感器正常工作时的电阻R＝＝＝10Ω，工作电流I＝＝＝0.3A，由于滑动变阻器工作电流是1A，所以电路允许通过的最大电流为Imax＝0.3A；由于磁场时间均匀变化，所以线圈中产生的感应电动势是不变的．滑动变阻器的滑片位于最左端时外电路的电阻为R外＝20Ω，故电流电动势的最大值E＝＝＝，解得t0＝40s．故只有D项正确．答案：D图9－2－239．如图9－2－23所示，一无限长的光滑金属平行导轨置于匀强磁场B中，磁场方向垂直导轨平面，导轨平面竖直且与地面绝缘，导轨上M、N间接一电阻R，P、Q端接一对沿水平方向的平行金属板，导体棒ab置于导轨上，其电阻为3R，导轨电阻不计，棒长为L，平行金属板间距为d.今导体棒通过定滑轮在一物块拉动下开场运动，稳定后棒的速度为v，不计一切摩擦阻力．此时有一带电量为q的液滴恰能在两板间做半径为r的匀速圆周运动，且速率也为v.求：(1)棒向右运动的速度v；(2)物块的质量m.解析：(1)设带电液滴的质量为m0，对于液滴：qvB＝m0，m0g＝q对导体棒匀速运动时：E＝BLv，I＝，U＝IR由以上各式联立解得：v＝2.(2)对导体棒ab水平方向：mg＝BIL，由以上各式联立可得：m＝.10/10\n答案：(1)2 (2)图9－2－2410．如图9－2－24所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，一个磁感应强度B＝0.50T的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R＝0.30Ω的电阻，长为L＝0.40m、电阻为r＝0.20Ω的金属棒ab紧贴在导轨上．现使金属棒ab由静止开场下滑，通过传感器记录金属棒ab下滑的距离，其下滑距离与时间的关系如下表所示，导轨电阻不计．(g＝10m/s2)求：时间t(s)00.100.200.300.400.500.600.70下滑距离s(m)00.100.300.701.201.702.202.70(1)在前0.4s的时间内，金属棒ab电动势的平均值；,(2)金属棒的质量；,(3)在前0.7s的时间内，电阻R上产生的热量.解析：(1)＝＝＝0.6V.(2)从表格中数据可知，0.3s后棒做匀速运动，速度v＝＝5m/s由mg－F＝0，F＝BIL，I＝，E＝BLv，解得m＝0.04kg.(3)棒在下滑过程中，有重力和安培力做功，抑制安培力做的功等于回路的焦耳热．那么：mgs－Q＝mv2－0，QR＝Q，解得Q＝0.348J.答案：(1)0.6V (2)0.04kg (3)0.348J图9－2－2511．如图9－2－25所示，矩形导线圈边长分别为L1、L2，共有N匝，内有一匀强磁场，磁场方向垂直于线圈所在平面向里，线圈通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离为d，板长为L0.t10/10\n＝0时，磁场的磁感应强度B从B0开场均匀变化，同时一带电荷量为＋q、质量为m的粒子从两板间的中点以水平初速度v0向右进入两板间，不计重力，假设该粒子恰能从上板的右端射出，那么：(1)磁感应强度随时间的变化率k多大？(2)磁感应强度B与时间t应满足什么关系？(3)两板间电场对带电粒子做的功为多少？解析：(1)线圈中产生的感应电动势大小：E＝N＝NL1L2＝NL1L2k两板间电压：U＝E，粒子在两板间的加速度：a＝＝设粒子通过平行金属板的时间为t0，那么有：L＝v0t0，＝at，联立解得：k＝.(2)由题意可知磁感应强度是逐渐增大的，那么有：B＝B0＋t.(3)电场力对带电粒子所做的功为W＝qU，联立解得：W＝.答案：(1) (2)B0＋t (3)图9－2－2612．如图9－2－26所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP放置在水平面内．MO间接有阻值为R＝3Ω的电阻．导轨相距d＝1m，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T．质量为m＝0.1kg，电阻为r＝1Ω的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于MN的恒力F＝1N向右拉动CD.CD受摩擦阻力f恒为0.5N．求：(1)CD运动的最大速度是多少？(2)当CD到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少？(3)当CD的速度为最大速度的一半时，CD的加速度是多少？解析：(1)设CD棒运动速度为v，那么：导体棒产生的感应电动势为：E＝Bdv①据闭合电路欧姆定律有：I＝②那么安培力为：F0＝BdI③据题意分析，当v最大时，有：F－F0－Ff＝0④联立①②③④得：vm＝＝8m/s.⑤10/10\n(2)棒CD速度最大时同理有：Em＝Bdvm⑥Im＝⑦而PRm＝I·R⑧联立⑤⑥⑦得：PRm＝＝3W．⑨(3)当CD速度为vm时有：E′＝Bdvm/2⑩I＝⑪F′＝BId⑫据牛顿第二定律有：F－F′－Ff＝ma⑬联立⑩⑪⑫⑬⑭得：a＝2.5m/s2.⑭答案：(1)8m/s (2)3W (3)2.5m/s210/10
