第四章第五节三角函数的图像题组一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象作法1.(2022·湖南高考)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin(x－)的图象，那么φ等于( )A.B.C.D.解析：∵φ∈[0,2π)，∴把y＝sinx的图象向左平移φ个单位得到y＝sin(x＋φ)的图象，而sin(x＋)＝sin(x＋－2π)＝sin(x－).答案：D2.(2022·全国卷Ⅱ)假设将函数y＝tan(ωx＋)(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋)的图象重合，那么ω的最小值为( )A.B.C.D.解析：y＝tan(ωx＋)向右平移个单位长度后得到函数解析式y＝tan，即y＝tan(ωx＋－)，显然当－＝＋kπ时，两图象重合，此时ω＝－6k(k∈Z).∵ω>0，∴k＝0时，ω的最小值为.答案：D题组二求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式3.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一局部图象如以下图，那么ω、φ的值分别是( )-7-/7\nA.1， B.1，－C.2， D.2，－解析：y＝sin(ωx+φ)y1＝sin[ω·(x+)+φ],∴T＝=4,ω=2,当x=时，2(π＋)＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，φ＝2kπ－，k∈Z，|φ|＜，∴φ＝－.答案：D4.(2022·江苏高考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如以下图，那么ω＝ .解析：由图中可以看出：T＝π，∴T＝π＝，∴ω＝3.答案：35.(2022·金华模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如以下图，那么f()＝ .解析：T＝π－＝π，∴T＝π，-7-/7\n∴＝π，∴ω＝3，∴f(x)＝2sin(3x＋φ)，又∵f()＝0，∴2sin(π＋φ)＝0，∴f()＝2sin(π＋φ)＝2sin(π＋π＋φ)＝－2sin(π＋φ)＝0.答案：0题组三三角函数图象的对称性6.(2022·全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )A. B.C. D.解析：由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，∴cos(＋φ)＝0，∴＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，取k＝0，得|φ|的最小值为.答案：A7.(2022·聊城模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π.将y＝f(x)的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，那么φ的一个值是( )A.B.C.D.解析：∵＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋)，将它向左平移|φ|个单位长度，-7-/7\n得f(x)＝sin[2(x＋|φ|)＋]，∵它的图象关于y轴对称，∴2(0＋|φ|)＋＝＋kπ.∴φ＝＋，k∈Z.∴φ的一个值是.答案：D8.(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是2，其图象经过点M(，1).(1)求f(x)的解析式；(2)假设tanα＝3，且函数g(x)＝f(x＋α)＋f(x＋α－)(x∈R)的图象关于直线x＝x0对称，求tanx0的值.解：(1)因为函数f(x)的最大值是2，所以A＝2又函数图象经过点M(，1)，故2sin(＋φ)＝1，即sin(＋φ)＝由于0<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(x＋)＝2cosx(2)g(x)＝f(x＋α)＋f(x＋α－)＝2cos(x＋α)＋2cos(x＋α－)＝2cos(x＋α)＋2sin(x＋α)＝2sin(x＋α＋)由其图象关于直线x＝x0对称，得sin(x0＋α＋)＝±1所以x0＋α＋＝kπ＋(k∈Z)，即x0＝kπ－α＋(k∈Z)-7-/7\ntanx0＝tan(kπ－α＋)＝tan(－α)＝＝－.题组四函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用9.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的图象的一局部如以以下图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，－]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值.解：(1)由图象知A＝2，T＝8，∵T＝＝8，∴ω＝.又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－＋φ)＝0.∵|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin(x＋).(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin(x＋)＋2sin(x＋＋)＝2sin(x＋)＝2cosx.∵x∈[－6，－]，∴－≤x≤－.∴当x＝－，即x＝－时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2.10.(文)已知向量a＝(1＋cos(2x＋φ),1)，b＝(1，a＋sin(2x＋φ))(φ为常数且－＜φ＜)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)求实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝2sin2x的图象，求函数-7-/7\ny＝f(x)的解析式及其单调增区间.解：(1)f(x)＝1＋cos(2x＋φ)＋a＋sin(2x＋φ)＝2sin(2x＋φ＋)＋a＋1.因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3＋a＝2，即a＝－1.(2)由(1)知：f(x)＝2sin(2x＋φ＋).把函数f(x)＝2sin(2x＋φ＋)的图象向右平移个单位可得函数y＝2sin(2x＋φ)＝2sin2x，∴φ＝2kπ，k∈Z.又∵－＜φ＜，∴φ＝0.∴f(x)＝2sin(2x＋).因为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋⇒kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以，y＝f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(理)已知向量a＝(1＋cosωx,1)，b＝(1，a＋sinωx)(ω为常数且ω＞0)，函数f(x)＝a·b在R上的最大值为2.(1)求实数a的值；(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，可得函数y＝g(x)的图象，假设y＝g(x)在[0，]上为增函数，求ω的最大值.解：(1)f(x)＝1＋cosωx＋a＋sinωx＝2sin(ωx＋)＋a＋1.因为函数f(x)在R上的最大值为2，所以3＋a＝2，故a＝－1.(2)由(1)知：f(x)＝2sin(ωx＋)，-7-/7\n把函数f(x)＝2sin(ωx＋)的图象向右平移个单位，可得函数y＝g(x)＝2sinωx.又∵y＝g(x)在[0，]上为增函数，∴g(x)的周期T＝≥π，即ω≤2，∴ω的最大值为2.-7-/7
