第四章第四节二倍角的正弦、余弦、正切题组一三角函数求值1.已知α∈(0，π)，sinα＋cosα＝，那么tanα等于( )A.B.－C.－或－D.－解析：∵sinα＋cosα＝，∴1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－.∴＝－，∴＝－，∴tanα＝－或tanα＝－，∵sinαcosα＝－＜0，∴α∈(，π).又sinα＋cosα＝＞0，故α∈(，)，∴tanα＜－1，∴tanα＝－.答案：D2.假设＝－，那么cosα＋sinα的值为( )A.－B.－C.D.解析：＝＝＝＝－，故cosα＋sinα＝.答案：C3.在△ABC中，已知cos(＋A)＝，那么cos2A的值为 .-6-/6\n解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA＝(cosA－sinA)＝，∴cosA－sinA＝＞0.①∴0＜A＜，∴0＜2A＜①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.∴cos2A＝＝.答案：4.已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.(1)求f()的值；(2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值.解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，∴f()＝sin＋cos＝1.(2)∵f()＝sinα＋cosα＝.∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±.sinα＝sin(α＋－)＝×－(±)×＝.∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝.题组二三角函数式的化简与证明5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是( )A.(－，)B.(0，)C.(，)D.(，π)-6-/6\n解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π).答案：D6.化简等于( )A.1B.－1C.cosαD.－sinα解析：原式＝＝＝＝1.答案：A7.(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是( )A.2B.4C.8D.16解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.答案：B8.求证：tan2x＋＝.证明：左边＝＋＝-6-/6\n＝＝＝＝＝＝＝＝右边.∴tan2x＋＝.题组三公式的综合应用9.假设0≤α≤2π，sinα＞cosα，那么α的取值范围是( )A.(，)B.(，π)C.(，)D.(，)解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.综上，0＜α－＜π，即＜α＜.答案：C10.已知sinαcosβ＝，那么cosαsinβ的取值范围是 .解析：法一：设x＝cosαsinβ，那么sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，-6-/6\n∴－≤x≤.法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：[－，]11.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如以下图.(1)求函数f(x)的表达式；(2)假设f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值.解：(1)从图知，函数的最大值为1，那么A＝1.函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.而T＝，那么ω＝2.又x＝－时，y＝0，∴sin[2×(－)＋φ]＝0.而－＜φ＜，那么φ＝，∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋).(2)由f(α)＋f(α－)＝，得sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.-6-/6\n∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.-6-/6
