第四章第一节角的概念及任意角的三角函数题组一角的集合表示1.假设角α的终边与角β的终边关于原点对称，那么( )A.α＝βB.α＝180°＋βC.α＝k·360°＋β，k∈ZD.α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z解析：借助图形可知，假设角α与β的终边关于原点对称，那么α＝k·360°＋180°＋β.答案：D2.假设角β的终边与60°角的终边相同，在0°～360°内，终边与角的终边相同的角为 .解析：∵β＝k·360°＋60°，k∈Z，∴＝k·120°＋20°，k∈Z.又∈[0°，360°)，∴0°≤k·120°＋20°＜360°，k∈Z，∴－≤k＜，∴k＝0,1,2.此时得分别为20°，140°，260°.故在[0°，360°)内，与角终边相同的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°题组二弧长、扇形面积公式3.假设1弧度的圆心角所对的弦长等于2，那么这圆心角所对的弧长等于( )A.sinB.C.D.2sin解析：设圆的半径为r.由题意知r·sin＝1，∴r＝，∴弧长l＝α·r＝.答案：C4.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长-6-/6\n为d，那么函数d＝f(l)的图象大致为( )解析：如图取AP的中点为D，设∠DOA＝θ，那么d＝2sinθ，l＝2θR＝2θ，∴d＝2sin.答案：C5.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)假设α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)假设扇形的周长是一定值c(c＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102×sin60°＝50(－)(cm2).(2)法一：∵扇形周长c＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α()2＝α·＝·≤.∴当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.法二：由已知2R＋l＝c，∴R＝(l＜c)，∴S＝Rl＝··l＝(cl－l2)-6-/6\n＝－(l－)2＋，∴当l＝时，Smax＝，此时α＝＝＝2，∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值.题组三三角函数的定义6.角α的终边上有一点P(a，a)(a≠0)，那么cosα＝( )A.B.－C.或－D.1解析：∵r＝＝|a|，当a＞0时，cosα＝＝；当a＜0时，cosα＝＝－.答案：C7.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，那么Q的坐标为( )A.(－，)B.(－，－)C.(－，－)D.(－，)解析：根据题意得Q(cosπ，sinπ)，即Q(－，).答案：A8.在(0,2π)内使sinx＞cosx成立的x取值范围是( )A.∪B.C.D.∪解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解.答案：C-6-/6\n9.假设角α的终边落在直线y＝－x上，那么＋的值等于( )A.0B.2C.－2D.2tanα解析：因为角α的终边落在直线y＝－x上，α＝kπ＋，k∈Z，sinα，cosα的符号相反.当α＝2kπ＋，即角α的终边在第二象限时，sinα＞0，cosα＜0；当α＝2kπ＋，即角α的终边在第四象限时，sinα＜0，cosα＞0.所以有＋＝＋＝0.答案：A10.(2022·余姚模拟)如图，A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限.C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形.记∠AOC＝α.(1)假设A点的坐标为(，)，求的值；(2)求|BC|2的取值范围.解：(1)∵A点的坐标为(，)，∴tanα＝，∴＝＝＝＝＝20.(2)设A点的坐标为(x，y)，∴△AOB为正三角形，∴B点的坐标为(cos(α＋)，sin(α＋))，且C(1,0)，∴|BC|2＝[cos(α＋)－1]2＋sin2(α＋)-6-/6\n＝2－2cos(α＋)，而A、B分别在第一、二象限，∴α∈(，).∴α＋∈(，)，∴cos(α＋)∈(－，0).∴|BC|2的取值范围是(2,2＋).题组四三角函数值的符号11.假设1＋sinx·＋cosx·＝0，那么x不可能是( )A.任何象限的角B.第一、二、三象限的角C.第一、二、四象限的角D.第一、三、四象限的角解析：由已知得1＋sinx·|sinx|＋cosx·|cosx|＝0，故x不可能是第一、二、四象限的角.答案：C12.假设θ为第一象限角，那么能确定为正值的是( )A.sinB.cosC.tanD.cos2θ解析：∵2kπ＜θ＜2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＜＜kπ＋(k∈Z)，4kπ＜2θ＜4kπ＋π(k∈Z).可知是第一、第三象限角，sin、cos都可能取负值，只有tan能确定为正值.2θ是第一、第二象限角，cos2θ可能取负值.答案：C13.设0≤θ＜2π，如果sinθ＜0且cos2θ＜0，那么θ的取值范围是( )A.π＜θ＜B.＜θ＜2π-6-/6\nC.＜θ＜D.＜θ＜解析：∵0≤θ＜2π，且sinθ＜0，∴π＜θ＜2π，又由cos2θ＜0得2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，即kπ＋＜θ＜kπ＋(k∈Z)，∵π＜θ＜2π，∴k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.答案：D-6-/6
