第6讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y＝sin在区间上的简图是( )解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.2.(2022·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A．5 B．6C．8D．10解析：选C.根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.3．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )A．－B.C．1D.解析：选D.由题意可知该函数的周期为，所以＝，ω＝2，f(x)＝tan2x，所以f＝tan＝.4.(2022·辽宁省五校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像如图所示，为了得到y＝sinωx6\n的图像，只需把y＝f(x)的图像上所有点( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：选A.由图像知，＝－，所以T＝π.又π＝，所以ω＝2.由f＝0得2×＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin＝sin，可知选A.5．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)，且其图像关于直线x＝0对称，则( )A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数解析：选B.f(x)＝cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)＝2sin，因为其图像关于直线x＝0对称，所以f(x)是偶函数，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z；又因为|φ|<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin＝2cos2x.易知f(x)的最小正周期为π，在上为减函数．6．(2022·合肥质检)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2015)成立，则ω的最小正值为( )A.B.6\nC.D.解析：选B.依题意得函数f(x)＝sin在x＝x1处取得最小值，在x＝x1＋2015处取得最大值，因此×＝2015，即ω＝π(k∈Z)，ω的最小正值为，故选B.7．已知函数f(x)＝sin与g(x)的图像关于直线x＝对称，将g(x)的图像向左平移φ(φ>0)个单位后与f(x)的图像重合，则φ的最小值为________．解析：函数g(x)的解析式为g(x)＝sin2x，其图像向左平移φ个单位后对应解析式为y＝sin(2x＋2φ)，从而2φ＝＋2kπ，即φ＝＋kπ(k∈N)，所以φmin＝.答案：8．(2022·高考重庆卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图像，则f＝________．解析：将y＝sinx的图像向左平移个单位长度可得y＝sin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图像，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.答案：9．(2022·江西省期中诊断)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0)，若f(x)在上单调且f＝f＝－f，则ω的值为________．解析：因为f(x)在上单调，所以f(x)的周期T≥2×＝，因为f＝－f，－＝＜，所以是f(x)的对称中心，因为f＝f，－＝＜，6\n所以x＝是f(x)的对称轴，即＝－＝，所以T＝2π，即ω＝1.答案：110．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.答案：20.511．已知函数y＝2sin.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像．解：(1)y＝2sin的振幅A＝2，最小正周期T＝＝π，初相φ＝.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.列表：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20描点画图：6\n1．已知函数f(x)＝cos，其中x∈，若f(x)的值域是，则m的取值范围是________．解析：画出函数图像，由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，因为f＝cos＝－且f＝cosπ＝－1，要使f(x)的值域是，只要≤m≤，即m的取值范围是.答案：2．(2022·济南模拟)已知函数f(x)＝cos·cos－sinxcosx＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的递增区间．解：(1)因为f(x)＝cos·cos－sin2x＋＝－sin2x＋＝cos2x－sin2x－sin2x＋＝－－sin2x＋＝(cos2x－sin2x)＝cos，所以函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.3．(2022·赣州十三县(市)高三联考)6\n函数f(x)＝6cos2＋sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，B，C为图像与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝，且x0∈，求f(x0＋1)的值．解：(1)由已知得：f(x)＝6cos2＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin，又由于正三角形ABC的高为2，则BC＝4，所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即＝8，所以ω＝，函数f(x)的值域为[－2，2]．(2)因为f(x0)＝，由(1)有f(x0)＝2sin＝，即sin＝，由x0∈，得＋∈，所以cos＝ ＝.故f(x0＋1)＝2sin＝2sin＝2＝2＝..6
