课时提升作业(十八)函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2022·温州模拟)为了得到函数y=cos2x的图象,只要将函数y=sin2x的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解题提示】注意两个函数名称的差异,选择恰当的诱导公式.【解析】选A.因为y=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+),所以只要将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可.2.(2022·临沂模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图象如图所示,,则=( )【解析】选A.由题干图知,函数f(x)的周期T=所以【加固训练】已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,△EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为( )-11-\n【解析】选D.由函数是奇函数,且0<φ<π可得φ=.由图象可得函数的最小正周期为4,ω=.由△EFG的高为,可得A=.所以f(x)=cos(x+),所以f(1)=cosπ=-.3.已知函数f(x)=sin(|x|+)(x∈R),则f(x)( )A.在区间[-,0]上是增函数B.在区间[0,]上是减函数C.在区间[-,0]上是减函数D.在区间[-,]上是增函数【解题提示】由函数f(x)的奇偶性并结合函数性质进行判断.【解析】选C.因为f(-x)=sin(|-x|+)=sin(|x|+),所以函数f(x)是偶函数,即其图象关于y轴对称.当x>0时,f(x)=sin(x+),当x∈[0,]时,x+∈[,],所以函数f(x)在[0,]上是增函数.故f(x)在[-,0]上是减函数.4.(2022·汉中模拟)函数f(x)=2x-tanx在上的图象大致为( )-11-\n【解析】选C.函数f(x)=2x-tanx为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,B.当x→时,y<0,所以排除D.5.(2022·锦州模拟)定义运算=ad-bc.将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小值为( )【解题提示】先根据定义运算化简f(x)的解析式,再根据平移后的图象关于y轴对称求φ的最小值.【解析】选D.由定义运算知f(x)=cosx-sinx=2cos(x+),平移后所得图象对应的函数解析式为g(x)=2cos(x+φ+).由题意得函数g(x)是偶函数,所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z).因为φ>0.所以φ的最小值为π-=π.故选D.【误区警示】解答本题易误选B,出错的原因是忽视φ的取值范围.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·兰州模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)(-<θ<)的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P(0,),则φ-11-\n的值为 .【解析】因为函数f(x)的图象过点P,所以sinθ=,又θ∈(-,),所以θ=,所以f(x)=sin（2x+）.又函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=sin[2(x-φ)+],所以sin（-2φ）=,因为0<φ<π,所以φ的值为.答案:7.设P为函数f(x)=sinx的图象上的一个最高点,Q为函数g(x)=cosx的图象上的一个最低点,则|PQ|的最小值是 .【解题提示】结合函数图象利用其周期设点的坐标求值.【解析】两个函数的周期都为T==4,由正、余弦函数的图象知,函数f(x)与g(x)的图象相差周期,设P,Q分别为函数f(x),g(x)图象上的相邻的最高点和最低点,设P(x0,1),则Q(x0+1,-1),则|PQ|min=.答案:【加固训练】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ≤)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为,则ω= .【解析】由已知两相邻最高点和最低点的距离为,而f(x)max-f(x)min=2,由勾股定理可得=2,所以T=4,所以ω=.答案:8.(2022·济南模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递增区间是 .【解析】如图,x=3,x=6是y=Asin(ωx+φ)的对称轴,-11-\n所以周期T=2×(6-3)=6,f(x)max=f(3)=A,f(x)min=f(0)=-A,所以单调递增区间为[6k,6k+3],k∈Z.答案:[6k,6k+3],k∈Z三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=sin(2x-)+1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相.(2)在如图所示坐标系中画出函数y=f(x)在上的图象.【解析】(1)f(x)=sin(2x-)+1的振幅为,最小正周期T==π,初相为-.(2)列表并描点画出图象:故函数y=f(x)在区间上的图象是-11-\n10.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b(A>0,ω>0)的图象.根据以上数据,(1)求函数的解析式.(2)求一日(持续24小时)内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间.【解题提示】(1)根据表格数据求出函数解析式.(2)由y>1.25求解.【解析】(1)依题意得解得A=0.5,b=1,ω=,则y=0.5cost+1.(2)令y=0.5cost+1>1.25(t∈[0,24])得cost>.又t∈[0,24],t∈[0,4π],因此0≤t<或<t≤2π或2π≤t<2π+或2π+<t≤2π+2π,即0≤t<2-11-\n或10<t≤12或12≤t<14或22<t≤24,在一日内,该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时.【误区警示】本题容易对t的求解不全面而导致错解.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·成都模拟)将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位,纵坐标不变,所得函数图象的一条对称轴的方程是 ( )A.x=B.x=C.x=D.x=-【解析】选A.将函数y=sin图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到的函数解析式为y=sin,再将y=sin的图象向左平移个单位(纵坐标不变)得到y=sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),得:x=+,k∈Z.所以当k=0时,x=,即x=是变化后的函数图象的一条对称轴的方程.【加固训练】将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( )A.4B.6C.8D.12【解题提示】先进行平移,再比较与原函数的差异,解三角方程求ω值.【解析】选B.把f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位得y=sin[ω(x+)+φ]=sin(ωx+ω+φ),又该函数图象与原函数图象重合,所以sin(ωx+ω+φ)=sin(ωx+φ)恒成立,所以ω+φ=2kπ+φ(k∈Z),-11-\n所以ω=4k(k∈Z),所以ω不可能为6.2.(5分)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则该函数的周期为( )A.πB.πC.πD.π【解题提示】先根据图象求A,φ,ω的值,由ω的值求周期.【解析】选A.由图象可知,A=2.f(0)=,所以2sinφ=,即sinφ=,因为|φ|<,所以φ=,此时f(x)=2sin(ωx+).又f=2,所以2sin=2,即sin=1.所以=+2kπ(k∈Z),即ω=24k+3(k∈Z).由图知,即T>,故.所以0<ω<6,所以ω=3,T=.【加固训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,为了得到函数g(x)=-Acosωx的图象,可以将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【解题提示】先根据图象求函数f(x)的解析式,再比较两个函数的解析式选择答案.【解析】选D.由图象可知A=1,,所以T=π,ω==2.-11-\n又=-1,因为|φ|<π,所以φ=故f(x)=sin(2x+),g(x)=-cos2x,因为g(x)=-sin(-2x)=sin(2x-)=sin2(x-),f(x)=sin2(x+),所以要得到g(x)的图象,只需把f(x)的图象向右平移个单位长度.3.(5分)(2022·广州模拟)已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( )A.-cosαB.-sinαC.-tanαD.tanα【解析】选D.如图可知,函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点时,必在区间(π,)内相切,且其切点为(α,-sinα),α∈(π,).因为当x∈(π,)时,f(x)=-sinx,f′(x)=-cosx,所以k=-=-cosα,即α=tanα.4.(12分)(2022·武汉模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.-11-\n(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数g(x)=的单调递增区间.【解析】(1)由图象知,周期T=2=π,所以ω==2,因为点(,0)在函数图象上,所以Asin(2×+φ)=0,即sin(+φ)=0.又因为0<φ<,所以<+φ<,从而+φ=π,即φ=.又点(0,1)在函数图象上,所以Asin=1,得A=2,故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)=2sin[2(x-)+]-2sin[2(x+)+]=2sin2x-2sin(2x+)=2sin2x-2(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-).由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+],(k∈Z).5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).-11-\n(1)求f(x)的解析式及x0的值.(2)求f(x)的增区间.(3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.【解析】(1)由图象知A=2,由=2π得T=4π,所以ω=.所以f(x)=2sin(x+φ),所以f(0)=2sinφ=1,又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(x+),由f(x0)=2sin(x0+)=2,所以x0+=+2kπ,k∈Z,x0=4kπ+,k∈Z,又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点,所以x0=.(2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以f(x)的增区间为[-+4kπ,+4kπ],k∈Z.(3)因为-π≤x≤π,所以-≤x+≤,所以-≤sin(x+)≤1,所以-≤f(x)≤2,所以f(x)的值域为[-,2].-11-
