第05节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2022浙江文6理4；2022浙江文4，理4；2022浙江文11，理10.1.“五点法”作图；2.函数图象的变换；3.三角函数模型的应用问题.4.备考重点：(1)掌握函数图象的变换；(2)掌握三角函数模型的应用.【知识清单】1.求三角函数解析式（1）的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相（2）用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：－（3）由的图象求其函数式：已知函数-18-\n的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．（4）利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.对点练习：【2022浙江嘉兴上学期测试】若函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度变换得到，则的解析式是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】向右平移个单位长度变换得到，故选A．2.三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;把函数向右平移个单位，得到函数的图像;把函数向上平移个单位，得到函数的图像;把函数向下平移个单位，得到函数的图像.-18-\n伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.对点练习：【2022课标1，理9】已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，则下面结论正确的是-18-\nA．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】3.函数的图像与性质的综合应用（1）的递增区间是，递减区间是.（2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．-18-\n（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.（4）的最小正周期都是.对点练习：【2022黑龙江省齐齐哈尔八中8月月考】将函数的图像向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A.最大值为1，图像关于直线对称B.周期为，图像关于点对称C.在上单调递增，为偶函数D.在上单调递减，为奇函数【答案】D当x=时,g(x)=,故g(x)的图象不关于点(,0)对称，故排除B，故选：D.【考点深度剖析】-18-\n近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将恒等变换与图象和性质结合考查.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度仍然以中低档为主，重在对基础知识的考查，淡化特殊技巧，强调通解通法，其中对函数的图象要求会用五点作图法作出，并理解它的性质：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x轴的交点间的距离为其函数的个周期.注意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】【2022山东青岛期初调研】已知函数的最小正周期为，若将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】C故选C.【1-2】【2022云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（）A.B.C.D.-18-\n【答案】C【解析】的图象向左平移单位得到的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是，故选C.【1-3】【2022安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（）A.B.C.D.【答案】A即=故选A.-18-\n【领悟技法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；(2)的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；(3)的确定：结合图象，先求出周期，然后由()来确定；(4)求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为(即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【触类旁通】【变式一】已知是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，为轴上的点，为图像上的最低点，为该函数图像的一个对称中心，与关于点对称，在轴上的投影为，则的值为（）Ａ．B．-18-\nＣ．D．【答案】A所以．故选A．【变式二】【2022安徽省六安市寿县第一中学上学期第一次月考】函数错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。的部分图象如图所示，将错误！未找到引用源。的图象向左平移错误！未找到引用源。个单位后的解析式为（）A.错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。【答案】B【解析】根据函数错误！未找到引用源。的部分图象知，错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，根据五点法画正弦函数图象，知错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。，解得错误！未找到引用源。，将错误！未找到引用源。的图象向左平移错误！未找到引用源。个单位后，得到错误！未找到引用源。，故选B.考点2三角函数图象的变换【2-1】【2022黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）-18-\nA.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向左平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.【2-2】【2022浙江温州二模】要得到函数错误！未找到引用源。的图像，只需将函数错误！未找到引用源。的图像（）A.向右平移错误！未找到引用源。个单位B.向左平移错误！未找到引用源。个单位C.向右平移错误！未找到引用源。个单位D.向左平移错误！未找到引用源。个单位【答案】A【领悟技法】1.在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2.图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【触类旁通】【变式】将函数（）的图象分别向左.向右各平移-18-\n个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】将函数（）的图象向左平移个单位后，所得图像的解析式为，将函数（）的图象向右平选C考点3函数的图像与性质的综合应用【3-1】已知函数，，其中，．若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（）．A．在区间上是增函数B．在区间上是增函数C．在区间上是减函数D．在区间上是减函数【答案】A【解析】由已知，，因，故，，由得-18-\n，，故单调增区间为，由得，故单调减区间为，结合选项，故选A.【3-2】【2022浙江杭州二模】设函数.（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值.【答案】（1）；（2）3.试题解析：（1）因为.，，函数的单调递增区间为：；（2），，，-18-\n的最大值是3.【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：036912151821241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从①，②，③中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全。【答案】(1)选②做为函数模型，;(2)这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.才能确保集训队员的安全.试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-18-\n-（Ⅱ）由（Ⅰ）知：令，即-18-\n又∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全。【领悟技法】1.求形如或(其中A≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与()，()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．2.如何确定函数当时函数的单调性对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.3.求函数(或，或)的单调区间的步骤：(1)将化为正．(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”.三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【触类旁通】【2022福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（）-18-\nA.B.C.D.【答案】A【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得再往上平移个单位，得函数的图象，令,解得：，当时，为，故选A.【易错试题常警惕】易错典例：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是()A.B.C.D.易错分析：函数的图像向右平移个单位长度误写成.,故选B.温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果-18-\n的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.【典例】已知函数错误！未找到引用源。的部分图象如图所示，下面结论正确的个数是()①函数错误！未找到引用源。的最小正周期是错误！未找到引用源。；②函数错误！未找到引用源。在区间错误！未找到引用源。上是增函数；③函数错误！未找到引用源。的图象关于直线错误！未找到引用源。对称；④函数错误！未找到引用源。的图象可由函数错误！未找到引用源。的图象向左平移错误！未找到引用源。个单位长度得到A.3B.2C.1D.0【答案】C-18-\n对于①,函数f(x)的最小正周期是T=π，①错误；对于②,x∈[错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。]时,2x+错误！未找到引用源。∈[错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。]，故选：C.-18-
