第5讲三角函数的图象与性质1．(2022·高考陕西卷)函数f(x)＝cos的最小正周期是( )A. B．πC．2πD．4π解析：选B.最小正周期为T＝＝＝π，故选B2．如果函数y＝3sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则|φ|的最小值为( )A. B.C.D.解析：选A.依题意得，sin＝±1，则＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)，因此|φ|的最小值是.3．(2022·忻州一模)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A．2－B．0C．－1D．－1－解析：选A.因为0≤x≤9，所以－≤－≤，所以sin∈.所以y∈[－，2]，所以ymax＋ymin＝2－.4．若x＝是f(x)＝sinωx＋cosωx的图像的一条对称轴，则ω的值可以是( )A．4B．6C．2D．1解析：选C.因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，所以其对称轴方程为ωx＋6\n＝kπ＋，k∈Z，而x＝是一条对称轴，所以ω＋＝kπ＋⇒ω＝6k＋2(k∈Z)，令k＝0，得ω＝2，故选C.5．(2022·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图像( )A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于点对称解析：选B.因为f(x)＝sin的最小正周期为π，所以＝π，ω＝2，所以f(x)＝sin.当x＝时，2x＋＝，所以A，C错误；当x＝时，2x＋＝，所以B正确，D错误．6．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的递增区间为( )A.B.C.D.(k∈Z)解析：选C.因为T＝＝，f(x)的最大值为2，所以＝2，即ω＝，故f(x)＝2sin.当2kπ－≤πx－≤2kπ＋，即2k－≤x≤2k＋，k∈Z时，f(x)单调递增，故f(x)在[－1，1]上的单调递增区间为.7．函数y＝|tanx|在上的减区间为________． 解析：如图，观察图像可知，y＝|tanx|在上的单调减区间为和.6\n答案：和8．若函数y＝sinx(3sinx＋4cosx)(x∈R)的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对(M，T)为________．解析：因为y＝sinx(3sinx＋4cosx)＝3sin2x＋4sinxcosx＝(3－3cos2x＋4sin2x)＝[3－5cos(2x＋φ)]，所以T＝π，M＝4，即有序数对(M，T)为(4，π)．答案：(4，π)9．(2022·西安质检)已知f1(x)＝sincosx，f2(x)＝sinxsin(π＋x)，若设f(x)＝f1(x)－f2(x)，则f(x)的递增区间是________．解析：由题知，f1(x)＝－cos2x，f2(x)＝－sin2x，f(x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x，令2x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，得x∈(k∈Z)，故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)10．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．解析：因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，所以－1≤2sin－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin＝1，即x＝时，y取最大值．答案：[－1，1] 11．已知函数f(x)＝sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标．解：f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin.(1)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以f(x)的单调减区间为(k∈Z)．(2)由sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，6\n即x＝－(k∈Z)．所以f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标是.12．(2022·高考天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．解：(1)由已知，有f(x)＝－＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数，且f＝－，f＝－，f＝，所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.1．(2022·唐山统考)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，f＋f＝0，且f(x)在区间上递减，则ω＝( )A．3B．2C．6D．5解析：选B.因为f(x)在上单调递减，且f＋f＝0，所以f＝0，因为f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin，所以f＝f＝2sin＝0，6\n所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z，又·≥－，ω>0，所以ω＝2.2．(2022·包头一模)给出下列命题：①函数f(x)＝4cos的一个对称中心为；②已知函数f(x)＝min{sinx，cosx}，则f(x)的值域为；③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ.其中所有真命题的序号是________．解析：对于①，令x＝－π，则2x＋＝－π＋＝－，有f＝0，因此为f(x)的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图像知f(x)的值域为，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin390°＝＜sin60°＝，故③为假命题，所以真命题为①②.答案：①②3．(2022·嘉兴一模)已知函数f(x)＝1－2sin.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求函数f的值域．解：(1)f(x)＝1－2sin·＝1－2sin2＋2sin·cos＝cos＋sin＝sin＝cos2x.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)由(1)可知f＝cos，由于x∈，所以2x＋∈，所以cos∈，所以f的值域为[－1，]．4．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a，b的值；6\n(2)设g(x)＝f且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．解：(1)因为x∈，所以2x＋∈.所以sin∈，所以－2asin∈[－2a，a]．所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因为－5≤f(x)≤1，所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1，g(x)＝f＝－4sin－1＝4sin－1，又由lgg(x)>0，得g(x)>1，所以4sin－1>1，所以sin>，所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z，所以g(x)的单调增区间为，k∈Z.又因为当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋<x<kπ＋，k∈Z.所以g(x)的单调减区间为，k∈Z.6
